第 13938 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[0,2,-2],[0,0,2]],"norm_name":"l1","C":3}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[0,2,-2],[0,0,2]],"norm_name":"l1","C":3}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original column index=0;ordered entries=[0, 0]

absolute entries=[0, 0]

operator column0 absolute sum := sum(0, 0)

operator column0 absolute sum = 0

original column index=1;ordered entries=[2, 0]

absolute entries=[2, 0]

operator column1 absolute sum := sum(2, 0)

operator column1 absolute sum = 2

original column index=2;ordered entries=[-2, 2]

absolute entries=[2, 2]

operator column2 absolute sum := sum(2, 2)

operator column2 absolute sum = 4

all absolute column sums=[0, 2, 4]

maximum=4;first maximizing column=2

arbitrary x in R^3;all column sums<=4

norm1(Ax)<=sum_j(sum_i abs(Aij))*abs(xj)<=4*norm1(x)

attaining unit input image:matrix=[[0, 2, -2], [0, 0, 2]];input=[0, 0, 1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(0, 0)

attaining unit input image row0 column0 product = 0

attaining unit input image row0 column1 product := mul(2, 0)

attaining unit input image row0 column1 product = 0

attaining unit input image row0 column2 product := mul(-2, 1)

attaining unit input image row0 column2 product = -2

attaining unit input image row0 sum := sum(0, 0, -2)

attaining unit input image row0 sum = -2

attaining unit input image row1 column0 product := mul(0, 0)

attaining unit input image row1 column0 product = 0

attaining unit input image row1 column1 product := mul(0, 0)

attaining unit input image row1 column1 product = 0

attaining unit input image row1 column2 product := mul(2, 1)

attaining unit input image row1 column2 product = 2

attaining unit input image row1 sum := sum(0, 0, 2)

attaining unit input image row1 sum = 2

attaining input:signed vector=[0, 0, 1];norm=l1

coordinate absolute values=[0, 0, 1]

attaining input l1 sum := sum(0, 0, 1)

attaining input l1 sum = 1

attaining output:signed vector=[-2, 2];norm=l1

coordinate absolute values=[2, 2]

attaining output l1 sum := sum(2, 2)

attaining output l1 sum = 4

explicit input=[0, 0, 1];input norm=1;image=[-2, 2];output norm=4

uniform upper bound=4 and attained ratio=4;exact induced norm=4

exact induced norm=4;proposed nonnegative C=3;attaining unit input=[0, 0, 1]

uniform bound=否;optimal bound=否

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining output l1 sum，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining input l1 sum，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column2 absolute sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(l1, 4, 3, 否, 否, bound_too_small)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。