第 14092 題：隨機變數獨立

原題與已知條件

全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[4,29],"y_values":[-1,36],"masses":[[[15,49],[20,49]],[[6,49],[8,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[4,29],"y_values":[-1,36],"masses":[[[15,49],[20,49]],[[6,49],[8,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-random-variable-independence

逐步推導

joint grid model whole mass sum := sum(15/49, 20/49, 6/49, 8/49)

joint grid model whole mass sum = 1

joint grid model:raw aligned masses=[[15, 49], [20, 49], [6, 49], [8, 49]]

normalized masses=[15/49, 20/49, 6/49, 8/49];nonnegative=是;total=1

original x row labels=[4, 29];original y column labels=[-1, 36]

normalized aligned row-by-column joint grid=[[15/49, 20/49], [6/49, 8/49]]

X row0 marginal := sum(15/49, 20/49)

X row0 marginal = 5/7

X row1 marginal := sum(6/49, 8/49)

X row1 marginal = 2/7

Y column0 marginal := sum(15/49, 6/49)

Y column0 marginal = 3/7

Y column1 marginal := sum(20/49, 8/49)

Y column1 marginal = 4/7

joint cell row0 column0 marginal product := mul(5/7, 3/7)

joint cell row0 column0 marginal product = 15/49

original row=0;column=0;value labels=[4, -1];joint mass=15/49;marginal product=15/49

cell factorizes=是

joint cell row0 column1 marginal product := mul(5/7, 4/7)

joint cell row0 column1 marginal product = 20/49

original row=0;column=1;value labels=[4, 36];joint mass=20/49;marginal product=20/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column0 marginal product := mul(2/7, 3/7)

joint cell row1 column0 marginal product = 6/49

original row=1;column=0;value labels=[29, -1];joint mass=6/49;marginal product=6/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column1 marginal product := mul(2/7, 4/7)

joint cell row1 column1 marginal product = 8/49

original row=1;column=1;value labels=[29, 36];joint mass=8/49;marginal product=8/49

cell factorizes=是

all joint factorization failures=[]

random variables independent=是;all-cell factorization covers every value-event rectangle

moment row0 col0 weighted X := mul(15/49, 4)

moment row0 col0 weighted X = 60/49

moment row0 col0 weighted Y := mul(15/49, -1)

moment row0 col0 weighted Y = -15/49

moment row0 col0 XY := mul(4, -1)

moment row0 col0 XY = -4

moment row0 col0 weighted XY := mul(15/49, -4)

moment row0 col0 weighted XY = -60/49

moment row0 col1 weighted X := mul(20/49, 4)

moment row0 col1 weighted X = 80/49

moment row0 col1 weighted Y := mul(20/49, 36)

moment row0 col1 weighted Y = 720/49

moment row0 col1 XY := mul(4, 36)

moment row0 col1 XY = 144

moment row0 col1 weighted XY := mul(20/49, 144)

moment row0 col1 weighted XY = 2880/49

moment row1 col0 weighted X := mul(6/49, 29)

moment row1 col0 weighted X = 174/49

moment row1 col0 weighted Y := mul(6/49, -1)

moment row1 col0 weighted Y = -6/49

moment row1 col0 XY := mul(29, -1)

moment row1 col0 XY = -29

moment row1 col0 weighted XY := mul(6/49, -29)

moment row1 col0 weighted XY = -174/49

moment row1 col1 weighted X := mul(8/49, 29)

moment row1 col1 weighted X = 232/49

moment row1 col1 weighted Y := mul(8/49, 36)

moment row1 col1 weighted Y = 288/49

moment row1 col1 XY := mul(29, 36)

moment row1 col1 XY = 1044

moment row1 col1 weighted XY := mul(8/49, 1044)

moment row1 col1 weighted XY = 8352/49

grid E_X := sum(60/49, 80/49, 174/49, 232/49)

grid E_X = 78/7

grid E_Y := sum(-15/49, 720/49, -6/49, 288/49)

grid E_Y = 141/7

grid E_XY := sum(-60/49, 2880/49, -174/49, 8352/49)

grid E_XY = 10998/49

grid product of means := mul(78/7, 141/7)

grid product of means = 10998/49

grid covariance := sub(10998/49, 10998/49)

grid covariance = 0

verified independence=是;E_X=78/7;E_Y=141/7;E_XY=10998/49;covariance=0

source implication_pass is conjunction(independent,covariance0)=是,not material implication

逐步反向核對

• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid covariance，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid product of means，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_XY，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_Y，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 XY，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 XY，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 XY，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 XY，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column1 marginal，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column0 marginal，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row1 marginal，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row0 marginal，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint grid model whole mass sum，不以小數近似替代。

結論

(是, 78/7, 141/7, 10998/49, 0, 是, zero_covariance_converse_not_claimed)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。