第 14096 題：隨機變數獨立

原題與已知條件

全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[8,33],"y_values":[3,40],"masses":[[[12,49],[30,49]],[[2,49],[5,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[8,33],"y_values":[3,40],"masses":[[[12,49],[30,49]],[[2,49],[5,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-random-variable-independence

逐步推導

joint grid model whole mass sum := sum(12/49, 30/49, 2/49, 5/49)

joint grid model whole mass sum = 1

joint grid model:raw aligned masses=[[12, 49], [30, 49], [2, 49], [5, 49]]

normalized masses=[12/49, 30/49, 2/49, 5/49];nonnegative=是;total=1

original x row labels=[8, 33];original y column labels=[3, 40]

normalized aligned row-by-column joint grid=[[12/49, 30/49], [2/49, 5/49]]

X row0 marginal := sum(12/49, 30/49)

X row0 marginal = 6/7

X row1 marginal := sum(2/49, 5/49)

X row1 marginal = 1/7

Y column0 marginal := sum(12/49, 2/49)

Y column0 marginal = 2/7

Y column1 marginal := sum(30/49, 5/49)

Y column1 marginal = 5/7

joint cell row0 column0 marginal product := mul(6/7, 2/7)

joint cell row0 column0 marginal product = 12/49

original row=0;column=0;value labels=[8, 3];joint mass=12/49;marginal product=12/49

cell factorizes=是

joint cell row0 column1 marginal product := mul(6/7, 5/7)

joint cell row0 column1 marginal product = 30/49

original row=0;column=1;value labels=[8, 40];joint mass=30/49;marginal product=30/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column0 marginal product := mul(1/7, 2/7)

joint cell row1 column0 marginal product = 2/49

original row=1;column=0;value labels=[33, 3];joint mass=2/49;marginal product=2/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column1 marginal product := mul(1/7, 5/7)

joint cell row1 column1 marginal product = 5/49

original row=1;column=1;value labels=[33, 40];joint mass=5/49;marginal product=5/49

cell factorizes=是

all joint factorization failures=[]

random variables independent=是;all-cell factorization covers every value-event rectangle

moment row0 col0 weighted X := mul(12/49, 8)

moment row0 col0 weighted X = 96/49

moment row0 col0 weighted Y := mul(12/49, 3)

moment row0 col0 weighted Y = 36/49

moment row0 col0 XY := mul(8, 3)

moment row0 col0 XY = 24

moment row0 col0 weighted XY := mul(12/49, 24)

moment row0 col0 weighted XY = 288/49

moment row0 col1 weighted X := mul(30/49, 8)

moment row0 col1 weighted X = 240/49

moment row0 col1 weighted Y := mul(30/49, 40)

moment row0 col1 weighted Y = 1200/49

moment row0 col1 XY := mul(8, 40)

moment row0 col1 XY = 320

moment row0 col1 weighted XY := mul(30/49, 320)

moment row0 col1 weighted XY = 9600/49

moment row1 col0 weighted X := mul(2/49, 33)

moment row1 col0 weighted X = 66/49

moment row1 col0 weighted Y := mul(2/49, 3)

moment row1 col0 weighted Y = 6/49

moment row1 col0 XY := mul(33, 3)

moment row1 col0 XY = 99

moment row1 col0 weighted XY := mul(2/49, 99)

moment row1 col0 weighted XY = 198/49

moment row1 col1 weighted X := mul(5/49, 33)

moment row1 col1 weighted X = 165/49

moment row1 col1 weighted Y := mul(5/49, 40)

moment row1 col1 weighted Y = 200/49

moment row1 col1 XY := mul(33, 40)

moment row1 col1 XY = 1320

moment row1 col1 weighted XY := mul(5/49, 1320)

moment row1 col1 weighted XY = 6600/49

grid E_X := sum(96/49, 240/49, 66/49, 165/49)

grid E_X = 81/7

grid E_Y := sum(36/49, 1200/49, 6/49, 200/49)

grid E_Y = 206/7

grid E_XY := sum(288/49, 9600/49, 198/49, 6600/49)

grid E_XY = 16686/49

grid product of means := mul(81/7, 206/7)

grid product of means = 16686/49

grid covariance := sub(16686/49, 16686/49)

grid covariance = 0

verified independence=是;E_X=81/7;E_Y=206/7;E_XY=16686/49;covariance=0

source implication_pass is conjunction(independent,covariance0)=是,not material implication

逐步反向核對

• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid covariance，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid product of means，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_XY，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_Y，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 XY，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 XY，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 XY，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 XY，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column1 marginal，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column0 marginal，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row1 marginal，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row0 marginal，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint grid model whole mass sum，不以小數近似替代。

結論

(是, 81/7, 206/7, 16686/49, 0, 是, zero_covariance_converse_not_claimed)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。