第 14781 題：有限交換環上的多項式環

原題與已知條件

係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-normalize；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,3,2,1],[0,2,0,2],[0,1,2,3]],"coefficients":[2,0,0,0]}。請依 [raw,zero,normalized,degree] 欄序回答。

• G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-normalize；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,3,2,1],[0,2,0,2],[0,1,2,3]],"coefficients":[2,0,0,0]}。請依 [raw,zero,normalized,degree] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring

逐步推導

same carrier Fin(4);addition=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0], [0, 3, 2, 1], [0, 2, 0, 2], [0, 1, 2, 3]]

actual additive zero=0;actual multiplicative one=3;additive inverses=[0, 3, 2, 1]

all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]

additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是

given polynomial:raw ascending coefficient labels=[2, 0, 0, 0];actual ring zero=0

normalized finite support=[2];last-index degree field=0

逐步反向核對

• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([2, 0, 0, 0], 0, [2], 0)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。