R0028-14757 · q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0057
係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-multiply；資料={"n":4,"addition":[[2,0,3,1],[0,1,2,3],[3,2,1,0],[1,3,0,2]],"multiplication":[[0,1,2,3],[1,1,1,1],[2,1,1,2],[3,1,2,0]],"left":[3,0,1,1],"right":[1,3,1,1]}。請依 [left,right,product,degree,boundary] 欄序回答。
G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-multiply；資料={"n":4,"addition":[[2,0,3,1],[0,1,2,3],[3,2,1,0],[1,3,0,2]],"multiplication":[[0,1,2,3],[1,1,1,1],[2,1,1,2],[3,1,2,0]],"left":[3,0,1,1],"right":[1,3,1,1]}。請依 [left,right,product,degree,boundary] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same carrier Fin(4);addition=[[2, 0, 3, 1], [0, 1, 2, 3], [3, 2, 1, 0], [1, 3, 0, 2]];multiplication=[[0, 1, 2, 3], [1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2], [3, 1, 2, 0]]
操作後
actual additive zero=1;actual multiplicative one=0;additive inverses=[3, 1, 2, 0]
條件：無
所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。
規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001
操作前
all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]
操作後
additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是
條件：無
完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。
規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
left polynomial:raw ascending coefficient labels=[3, 0, 1, 1];actual ring zero=1
操作後
normalized finite support=[3, 0];last-index degree field=1
條件：無
只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。
規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S002
操作前
right polynomial:raw ascending coefficient labels=[1, 3, 1, 1];actual ring zero=1
操作後
normalized finite support=[1, 3];last-index degree field=1
條件：無
只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。
規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S003
操作前
convolution coefficient0 times coefficient0:operation=multiplication;left label=3;right label=1;original row=[3, 1, 2, 0]
操作後
result label=1
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S004
操作前
accumulate product at degree0:operation=addition;left label=1;right label=1;original row=[0, 1, 2, 3]
操作後
result label=1
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S005
操作前
convolution coefficient0 times coefficient1:operation=multiplication;left label=3;right label=3;original row=[3, 1, 2, 0]
操作後
result label=0
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S006
操作前
accumulate product at degree1:operation=addition;left label=1;right label=0;original row=[0, 1, 2, 3]
操作後
result label=0
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S007
操作前
convolution coefficient1 times coefficient0:operation=multiplication;left label=0;right label=1;original row=[0, 1, 2, 3]
操作後
result label=1
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S008
操作前
accumulate product at degree1:operation=addition;left label=0;right label=1;original row=[2, 0, 3, 1]
操作後
result label=0
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S009
操作前
convolution coefficient1 times coefficient1:operation=multiplication;left label=0;right label=3;original row=[0, 1, 2, 3]
操作後
result label=3
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S010
操作前
accumulate product at degree2:operation=addition;left label=1;right label=3;original row=[0, 1, 2, 3]
操作後
result label=3
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S011
操作前
product result:raw ascending coefficient labels=[1, 0, 3];actual ring zero=1
操作後
normalized finite support=[1, 0, 3];last-index degree field=2
條件：無
只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。
規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S012
操作前
normalized product=[1, 0, 3];last-index degree field=2
操作後
degree_additivity_not_claimed_with_zero_divisors
條件：無
逐有限支撐作父環卷積，再刪尾零。首項係數可因零因子相乘成零，甚至兩個非零多項式乘成零，故不無條件宣稱degree相加或域性質。
規則：polynomial_convolution_zero_divisor_boundary · 依賴：G001, S013
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([3, 0], [1, 3], [1, 0, 3], 2, degree_additivity_not_claimed_with_zero_divisors)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: a9a009759f1ace15b932e7eab35d0147f88d9e397df663f314f9b70409844e8fcandidate record SHA-256: cb8e96d5d5b7565867e83255dbe5f02405f8590f9f65f0ce20450901baa1152csemantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209aequestion-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED