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第 14762 題：有限交換環上的多項式環

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0028-14762 · q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0062

原題與已知條件

係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-multiply；資料={"n":4,"addition":[[2,0,3,1],[0,1,2,3],[3,2,1,0],[1,3,0,2]],"multiplication":[[3,1,2,0],[1,1,1,1],[2,1,1,2],[0,1,2,3]],"left":[1,2,1,1],"right":[3,1,1,1]}。請依 [left,right,product,degree,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-multiply；資料={"n":4,"addition":[[2,0,3,1],[0,1,2,3],[3,2,1,0],[1,3,0,2]],"multiplication":[[3,1,2,0],[1,1,1,1],[2,1,1,2],[0,1,2,3]],"left":[1,2,1,1],"right":[3,1,1,1]}。請依 [left,right,product,degree,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same carrier Fin(4);addition=[[2, 0, 3, 1], [0, 1, 2, 3], [3, 2, 1, 0], [1, 3, 0, 2]];multiplication=[[3, 1, 2, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

actual additive zero=1;actual multiplicative one=3;additive inverses=[3, 1, 2, 0]

條件：無

所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。

步驟識別與依賴

規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]

操作後

additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是

條件：無

完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。

步驟識別與依賴

規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

left polynomial:raw ascending coefficient labels=[1, 2, 1, 1];actual ring zero=1

操作後

normalized finite support=[1, 2];last-index degree field=1

條件：無

只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

right polynomial:raw ascending coefficient labels=[3, 1, 1, 1];actual ring zero=1

操作後

normalized finite support=[3];last-index degree field=0

條件：無

只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

convolution coefficient0 times coefficient0:operation=multiplication;left label=1;right label=3;original row=[1, 1, 1, 1]

操作後

result label=1

條件：無

按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。

步驟識別與依賴

規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

accumulate product at degree0:operation=addition;left label=1;right label=1;original row=[0, 1, 2, 3]

操作後

result label=1

條件：無

按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。

步驟識別與依賴

規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

convolution coefficient1 times coefficient0:operation=multiplication;left label=2;right label=3;original row=[2, 1, 1, 2]

操作後

result label=2

條件：無

按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。

步驟識別與依賴

規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

accumulate product at degree1:operation=addition;left label=1;right label=2;original row=[0, 1, 2, 3]

操作後

result label=2

條件：無

按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。

步驟識別與依賴

規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

product result:raw ascending coefficient labels=[1, 2];actual ring zero=1

操作後

normalized finite support=[1, 2];last-index degree field=1

條件：無

只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

normalized product=[1, 2];last-index degree field=1

操作後

degree_additivity_not_claimed_with_zero_divisors

條件：無

逐有限支撐作父環卷積，再刪尾零。首項係數可因零因子相乘成零，甚至兩個非零多項式乘成零，故不無條件宣稱degree相加或域性質。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_convolution_zero_divisor_boundary · 依賴：G001, S009

逐步反向核對

  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([1, 2], [3], [1, 2], 1, degree_additivity_not_claimed_with_zero_divisors)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 6cc9fb730b78371856b5280825d0b2789c7a03501c23f200819a7db97cf715ca
  • candidate record SHA-256: 52e06c30b62216933b49b6c4c70460d978729150f58926fcb52f0f2272a55ff6
  • semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae
  • question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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