第 14733 題：有限交換環上的多項式環

原題與已知條件

係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-infinite-carrier-witness；資料={"n":4,"addition":[[3,0,1,2],[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1]],"multiplication":[[0,1,2,3],[1,1,1,1],[2,1,0,3],[3,1,3,1]],"degree":8}。請依 [degree,monomial,coefficient_count,distinct,boundary] 欄序回答。

• G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-infinite-carrier-witness；資料={"n":4,"addition":[[3,0,1,2],[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1]],"multiplication":[[0,1,2,3],[1,1,1,1],[2,1,0,3],[3,1,3,1]],"degree":8}。請依 [degree,monomial,coefficient_count,distinct,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring

逐步推導

same carrier Fin(4);addition=[[3, 0, 1, 2], [0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1]];multiplication=[[0, 1, 2, 3], [1, 1, 1, 1], [2, 1, 0, 3], [3, 1, 3, 1]]

actual additive zero=1;actual multiplicative one=0;additive inverses=[2, 1, 0, 3]

all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]

additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是

monomial coefficient count := sum(8, 1)

monomial coefficient count = 9

arbitrary nonnegative exponent;displayed degree=8;actual zero=1;one=0

monomial coefficients=[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0];coefficient count=9

zero=1 differs from one=0;compare any two different exponents d<e

coefficient at e distinguishes x^e from x^d;ordinary R[x] carrier infinite

逐步反向核對

• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monomial coefficient count，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(8, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0], 9, 是, R[x]_carrier_infinite_when_zero_ne_one)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。