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第 14579 題：內積誘導範數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0028-14579 · q-20261014-advance-20261029-r03-inner-product-induced-norm-0004

原題與已知條件

向量與已認證內積綁定同一實空間。操作=innernorm-square；資料={"matrix":[[5,0],[0,1]],"x":[0,1]}。請依 [matrix,x,norm_square,exact_norm,certificate] 欄序回答。

  • G001 — 向量與已認證內積綁定同一實空間。操作=innernorm-square；資料={"matrix":[[5,0],[0,1]],"x":[0,1]}。請依 [matrix,x,norm_square,exact_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · calculation

操作前

inner parent diagonal product := mul(5, 1)

操作後

inner parent diagonal product = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

inner parent off-diagonal product := mul(0, 0)

操作後

inner parent off-diagonal product = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

inner parent determinant := sub(5, 0)

操作後

inner parent determinant = 5

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

same real R2 inner-product candidate matrix=[[5, 0], [0, 1]]

操作後

symmetric=是;leading=5;determinant=5

條件：無

先核同一R²對稱正定父矩陣，不以無關的Euclidean或座標norm替代；對稱、首項>0、det>0才可沿用內積。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_certified_same_SPD_parent · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

inner parent completed-square slope := div(0, 5)

操作後

inner parent completed-square slope = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

inner parent completed-square remainder := div(5, 5)

操作後

inner parent completed-square remainder = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

positive leading=5;slope=0;positive remainder=1

操作後

q(s,t)=(5)*(s+(0)*t)^2+(1)*t^2;positive iff(s,t)!=0

條件：無

配方兩個正係數保證每個非零實向量的自內積正，零向量為0；不是只驗幾組正數值。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_parent_global_positive_square_certificate · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

same certified real inner product;arbitrary real x,y

操作後

if y=0 then inner(x,y)=0;otherwise yy>0 and q(x-a*y)=xx-2*a*xy+a^2*yy>=0

條件：無

對任意實a，自內積非負。y非零時yy>0；取a=xy/yy得到xx−xy²/yy≥0，乘正yy得xy²≤xx*yy。y=0分開處理，不作0/0。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_Cauchy_Schwarz_all_vectors_quadratic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

norm(x)=nonnegative sqrt(inner(x,x));inner product positive definite and bilinear

操作後

norm(x)>=0;norm(x)=0 iff x=0;norm(a*x)=abs(a)*norm(x)

條件：無

取非負根才是norm；由q(ax)=a²q(x)取根得|a|而非a，包含負純量，零向量與齊次性全稱成立。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_nonnegative_root_and_absolute_homogeneity · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

Cauchy-Schwarz holds for arbitrary x,y in this same inner product

操作後

norm(x+y)^2=xx+2*xy+yy<=(norm(x)+norm(y))^2;nonnegative roots give triangle inequality

條件：無

以|xy|≤norm(x)norm(y)界交叉項，再因兩側非負取根，才得到所有向量的三角責任；一次精確代值不是此全稱證書的來源，也不推出完備性。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_triangle_uses_universal_Cauchy_Schwarz · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

x self-inner-product:same matrix=[[5, 0], [0, 1]];first vector=[0, 1];second vector=[0, 1]

操作後

inner product=first^T*(matrix*second)

條件：無

按同一父內積先算矩陣乘第二槽，再與第一槽內積；推導出的有理向量仍屬R²，不套原整數輸入界截斷。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_original_slot_roles · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

x self-inner-product matrix term0,0 := mul(5, 0)

操作後

x self-inner-product matrix term0,0 = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

x self-inner-product matrix term0,1 := mul(0, 1)

操作後

x self-inner-product matrix term0,1 = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

x self-inner-product image coordinate0 := sum(0, 0)

操作後

x self-inner-product image coordinate0 = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

x self-inner-product matrix term1,0 := mul(0, 0)

操作後

x self-inner-product matrix term1,0 = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

x self-inner-product matrix term1,1 := mul(1, 1)

操作後

x self-inner-product matrix term1,1 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

x self-inner-product image coordinate1 := sum(0, 1)

操作後

x self-inner-product image coordinate1 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

x self-inner-product first-slot term0 := mul(0, 0)

操作後

x self-inner-product first-slot term0 = 0

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

x self-inner-product first-slot term1 := mul(1, 1)

操作後

x self-inner-product first-slot term1 = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

x self-inner-product inner sum := sum(0, 1)

操作後

x self-inner-product inner sum = 1

條件：無

依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

induced norm:same-form self-inner-product=1>=0

操作後

nonnegative exact root=sqrt(1);source expression kept unsimplified

條件：無

保留來源sqrt(...)精確字串，即使平方數也不改成整數或小數；負根不是norm或距離，不換到別的內積／norm。

步驟識別與依賴

規則：innernorm_exact_root_not_decimal_or_other_metric · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product inner sum，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product first-slot term1，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product first-slot term0，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product image coordinate1，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product matrix term1,1，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product matrix term1,0，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product image coordinate0，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product matrix term0,1，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x self-inner-product matrix term0,0，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent completed-square remainder，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent completed-square slope，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent determinant，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent off-diagonal product，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([[5, 0], [0, 1]], [0, 1], 1, sqrt(1), same_inner_product_universal_norm_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 1eed855025b7fe38e34ce3cc7a04d8e9dddb0e77ac978c3758cd730c9a7ec6de
  • candidate record SHA-256: 47a6cd7a0c5f46a5fb16c4ebe09d71379aaa6a80a1c7aa4821120b7a08ab6bfc
  • semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae
  • question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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