第 33684 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":23,"element":9}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":23,"element":9}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [23, [2, 3, 4]]

derived = [[1, 2, 3], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 9

source roles = [power exponent1, 9, 23]

derived = [0, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(9, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 81

source roles = [power exponent2, 81, 23]

derived = [3, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(12, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 108

source roles = [power exponent3, 108, 23]

derived = [4, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(16, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 144

source roles = [power exponent4, 144, 23]

derived = [6, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(6, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 54

source roles = [power exponent5, 54, 23]

derived = [2, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(8, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 72

source roles = [power exponent6, 72, 23]

derived = [3, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(3, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 27

source roles = [power exponent7, 27, 23]

derived = [1, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(4, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 36

source roles = [power exponent8, 36, 23]

derived = [1, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(13, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 117

source roles = [power exponent9, 117, 23]

derived = [5, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(2, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 18

source roles = [power exponent10, 18, 23]

derived = [0, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(18, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 162

source roles = [power exponent11, 162, 23]

derived = [7, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(1, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 9

source roles = [power exponent12, 9, 23]

derived = [0, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(9, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 81

source roles = [power exponent13, 81, 23]

derived = [3, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(12, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 108

source roles = [power exponent14, 108, 23]

derived = [4, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(16, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 144

source roles = [power exponent15, 144, 23]

derived = [6, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(6, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 54

source roles = [power exponent16, 54, 23]

derived = [2, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(8, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 72

source roles = [power exponent17, 72, 23]

derived = [3, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(3, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 27

source roles = [power exponent18, 27, 23]

derived = [1, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(4, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 36

source roles = [power exponent19, 36, 23]

derived = [1, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(13, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 117

source roles = [power exponent20, 117, 23]

derived = [5, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(2, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 18

source roles = [power exponent21, 18, 23]

derived = [0, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(18, 9)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 162

source roles = [power exponent22, 162, 23]

derived = [7, 1]

source roles = [23, 9, [9, 12, 16, 6, 8, 3, 4, 13, 2, 18, 1, 9, 12, 16, 6, 8, 3, 4, 13, 2, 18, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(9, [9, 12, 16, 6, 8, 3, 4, 13, 2, 18, 1, 9, 12, 16, 6, 8, 3, 4, 13, 2, 18, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。