第 33692 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":59,"element":17}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":59,"element":17}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [59, [2, 3, 4, 5, 6, 7]]

derived = [[1, 2, 3, 4, 5, 3], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 17

source roles = [power exponent1, 17, 59]

derived = [0, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(17, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 289

source roles = [power exponent2, 289, 59]

derived = [4, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(53, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 901

source roles = [power exponent3, 901, 59]

derived = [15, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(16, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 272

source roles = [power exponent4, 272, 59]

derived = [4, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(36, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 612

source roles = [power exponent5, 612, 59]

derived = [10, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(22, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 374

source roles = [power exponent6, 374, 59]

derived = [6, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(20, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 340

source roles = [power exponent7, 340, 59]

derived = [5, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(45, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 765

source roles = [power exponent8, 765, 59]

derived = [12, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(57, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 969

source roles = [power exponent9, 969, 59]

derived = [16, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(25, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 425

source roles = [power exponent10, 425, 59]

derived = [7, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(12, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 204

source roles = [power exponent11, 204, 59]

derived = [3, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(27, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 459

source roles = [power exponent12, 459, 59]

derived = [7, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(46, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 782

source roles = [power exponent13, 782, 59]

derived = [13, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(15, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 255

source roles = [power exponent14, 255, 59]

derived = [4, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(19, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 323

source roles = [power exponent15, 323, 59]

derived = [5, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(28, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 476

source roles = [power exponent16, 476, 59]

derived = [8, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(4, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 68

source roles = [power exponent17, 68, 59]

derived = [1, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(9, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 153

source roles = [power exponent18, 153, 59]

derived = [2, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(35, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 595

source roles = [power exponent19, 595, 59]

derived = [10, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(5, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 85

source roles = [power exponent20, 85, 59]

derived = [1, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(26, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 442

source roles = [power exponent21, 442, 59]

derived = [7, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(29, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 493

source roles = [power exponent22, 493, 59]

derived = [8, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(21, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 357

source roles = [power exponent23, 357, 59]

derived = [6, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(3, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 51

source roles = [power exponent24, 51, 59]

derived = [0, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(51, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 867

source roles = [power exponent25, 867, 59]

derived = [14, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(41, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 697

source roles = [power exponent26, 697, 59]

derived = [11, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(48, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 816

source roles = [power exponent27, 816, 59]

derived = [13, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(49, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 833

source roles = [power exponent28, 833, 59]

derived = [14, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(7, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 119

source roles = [power exponent29, 119, 59]

derived = [2, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(1, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 17

source roles = [power exponent30, 17, 59]

derived = [0, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(17, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 289

source roles = [power exponent31, 289, 59]

derived = [4, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(53, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 901

source roles = [power exponent32, 901, 59]

derived = [15, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(16, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 272

source roles = [power exponent33, 272, 59]

derived = [4, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(36, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 612

source roles = [power exponent34, 612, 59]

derived = [10, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(22, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 374

source roles = [power exponent35, 374, 59]

derived = [6, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(20, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 340

source roles = [power exponent36, 340, 59]

derived = [5, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(45, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 765

source roles = [power exponent37, 765, 59]

derived = [12, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(57, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 969

source roles = [power exponent38, 969, 59]

derived = [16, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(25, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 425

source roles = [power exponent39, 425, 59]

derived = [7, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(12, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 204

source roles = [power exponent40, 204, 59]

derived = [3, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(27, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 459

source roles = [power exponent41, 459, 59]

derived = [7, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(46, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 782

source roles = [power exponent42, 782, 59]

derived = [13, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(15, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 255

source roles = [power exponent43, 255, 59]

derived = [4, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(19, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 323

source roles = [power exponent44, 323, 59]

derived = [5, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(28, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 476

source roles = [power exponent45, 476, 59]

derived = [8, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(4, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 68

source roles = [power exponent46, 68, 59]

derived = [1, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(9, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 153

source roles = [power exponent47, 153, 59]

derived = [2, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(35, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 595

source roles = [power exponent48, 595, 59]

derived = [10, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(5, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 85

source roles = [power exponent49, 85, 59]

derived = [1, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(26, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 442

source roles = [power exponent50, 442, 59]

derived = [7, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(29, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 493

source roles = [power exponent51, 493, 59]

derived = [8, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(21, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 357

source roles = [power exponent52, 357, 59]

derived = [6, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(3, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 51

source roles = [power exponent53, 51, 59]

derived = [0, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(51, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 867

source roles = [power exponent54, 867, 59]

derived = [14, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(41, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 697

source roles = [power exponent55, 697, 59]

derived = [11, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(48, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 816

source roles = [power exponent56, 816, 59]

derived = [13, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(49, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 833

source roles = [power exponent57, 833, 59]

derived = [14, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(7, 17)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 119

source roles = [power exponent58, 119, 59]

derived = [2, 1]

source roles = [59, 17, [17, 53, 16, 36, 22, 20, 45, 57, 25, 12, 27, 46, 15, 19, 28, 4, 9, 35, 5, 26, 29, 21, 3, 51, 41, 48, 49, 7, 1, 17, 53, 16, 36, 22, 20, 45, 57, 25, 12, 27, 46, 15, 19, 28, 4, 9, 35, 5, 26, 29, 21, 3, 51, 41, 48, 49, 7, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S119 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=50，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=49，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=48，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=47，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=46，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=45，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=44，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=43，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=42，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=41，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=38，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=37，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
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• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(17, [17, 53, 16, 36, 22, 20, 45, 57, 25, 12, 27, 46, 15, 19, 28, 4, 9, 35, 5, 26, 29, 21, 3, 51, 41, 48, 49, 7, 1, 17, 53, 16, 36, 22, 20, 45, 57, 25, 12, 27, 46, 15, 19, 28, 4, 9, 35, 5, 26, 29, 21, 3, 51, 41, 48, 49, 7, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。