第 33693 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":61,"element":18}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":61,"element":18}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [61, [2, 3, 4, 5, 6, 7]]

derived = [[1, 1, 1, 1, 1, 5], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 18

source roles = [power exponent1, 18, 61]

derived = [0, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(18, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 324

source roles = [power exponent2, 324, 61]

derived = [5, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(19, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 342

source roles = [power exponent3, 342, 61]

derived = [5, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(37, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 666

source roles = [power exponent4, 666, 61]

derived = [10, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(56, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 1008

source roles = [power exponent5, 1008, 61]

derived = [16, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(32, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 576

source roles = [power exponent6, 576, 61]

derived = [9, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(27, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 486

source roles = [power exponent7, 486, 61]

derived = [7, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(59, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 1062

source roles = [power exponent8, 1062, 61]

derived = [17, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(25, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 450

source roles = [power exponent9, 450, 61]

derived = [7, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(23, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 414

source roles = [power exponent10, 414, 61]

derived = [6, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(48, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 864

source roles = [power exponent11, 864, 61]

derived = [14, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(10, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 180

source roles = [power exponent12, 180, 61]

derived = [2, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(58, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 1044

source roles = [power exponent13, 1044, 61]

derived = [17, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(7, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 126

source roles = [power exponent14, 126, 61]

derived = [2, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(4, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 72

source roles = [power exponent15, 72, 61]

derived = [1, 11]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(11, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 198

source roles = [power exponent16, 198, 61]

derived = [3, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(15, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 270

source roles = [power exponent17, 270, 61]

derived = [4, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(26, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 468

source roles = [power exponent18, 468, 61]

derived = [7, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(41, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 738

source roles = [power exponent19, 738, 61]

derived = [12, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(6, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 108

source roles = [power exponent20, 108, 61]

derived = [1, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(47, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 846

source roles = [power exponent21, 846, 61]

derived = [13, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(53, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 954

source roles = [power exponent22, 954, 61]

derived = [15, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(39, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 702

source roles = [power exponent23, 702, 61]

derived = [11, 31]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(31, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 558

source roles = [power exponent24, 558, 61]

derived = [9, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(9, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 162

source roles = [power exponent25, 162, 61]

derived = [2, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(40, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 720

source roles = [power exponent26, 720, 61]

derived = [11, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(49, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 882

source roles = [power exponent27, 882, 61]

derived = [14, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(28, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 504

source roles = [power exponent28, 504, 61]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(16, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 288

source roles = [power exponent29, 288, 61]

derived = [4, 44]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(44, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 792

source roles = [power exponent30, 792, 61]

derived = [12, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(60, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 1080

source roles = [power exponent31, 1080, 61]

derived = [17, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(43, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 774

source roles = [power exponent32, 774, 61]

derived = [12, 42]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(42, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 756

source roles = [power exponent33, 756, 61]

derived = [12, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(24, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 432

source roles = [power exponent34, 432, 61]

derived = [7, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(5, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 90

source roles = [power exponent35, 90, 61]

derived = [1, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(29, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 522

source roles = [power exponent36, 522, 61]

derived = [8, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(34, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 612

source roles = [power exponent37, 612, 61]

derived = [10, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(2, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 36

source roles = [power exponent38, 36, 61]

derived = [0, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(36, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 648

source roles = [power exponent39, 648, 61]

derived = [10, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(38, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 684

source roles = [power exponent40, 684, 61]

derived = [11, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(13, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 234

source roles = [power exponent41, 234, 61]

derived = [3, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(51, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 918

source roles = [power exponent42, 918, 61]

derived = [15, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(3, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 54

source roles = [power exponent43, 54, 61]

derived = [0, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(54, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 972

source roles = [power exponent44, 972, 61]

derived = [15, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(57, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 1026

source roles = [power exponent45, 1026, 61]

derived = [16, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(50, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 900

source roles = [power exponent46, 900, 61]

derived = [14, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(46, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 828

source roles = [power exponent47, 828, 61]

derived = [13, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(35, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 630

source roles = [power exponent48, 630, 61]

derived = [10, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(20, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 360

source roles = [power exponent49, 360, 61]

derived = [5, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(55, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 990

source roles = [power exponent50, 990, 61]

derived = [16, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(14, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 252

source roles = [power exponent51, 252, 61]

derived = [4, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(8, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 144

source roles = [power exponent52, 144, 61]

derived = [2, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(22, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 396

source roles = [power exponent53, 396, 61]

derived = [6, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(30, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 540

source roles = [power exponent54, 540, 61]

derived = [8, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(52, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 936

source roles = [power exponent55, 936, 61]

derived = [15, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(21, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 378

source roles = [power exponent56, 378, 61]

derived = [6, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(12, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 216

source roles = [power exponent57, 216, 61]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(33, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 594

source roles = [power exponent58, 594, 61]

derived = [9, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(45, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 810

source roles = [power exponent59, 810, 61]

derived = [13, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(17, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 306

source roles = [power exponent60, 306, 61]

derived = [5, 1]

source roles = [61, 18, [18, 19, 37, 56, 32, 27, 59, 25, 23, 48, 10, 58, 7, 4, 11, 15, 26, 41, 6, 47, 53, 39, 31, 9, 40, 49, 28, 16, 44, 60, 43, 42, 24, 5, 29, 34, 2, 36, 38, 13, 51, 3, 54, 57, 50, 46, 35, 20, 55, 14, 8, 22, 30, 52, 21, 12, 33, 45, 17, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S123 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S122 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=60，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=59，不以小數近似替代。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=50，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=49，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=48，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=47，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=46，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=45，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=44，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=43，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=42，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=41，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=38，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=37，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
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結論

(18, [18, 19, 37, 56, 32, 27, 59, 25, 23, 48, 10, 58, 7, 4, 11, 15, 26, 41, 6, 47, 53, 39, 31, 9, 40, 49, 28, 16, 44, 60, 43, 42, 24, 5, 29, 34, 2, 36, 38, 13, 51, 3, 54, 57, 50, 46, 35, 20, 55, 14, 8, 22, 30, 52, 21, 12, 33, 45, 17, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。