第 33694 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":67,"element":19}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":67,"element":19}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [67, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

derived = [[1, 1, 3, 2, 1, 4, 3], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 19

source roles = [power exponent1, 19, 67]

derived = [0, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(19, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 361

source roles = [power exponent2, 361, 67]

derived = [5, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(26, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 494

source roles = [power exponent3, 494, 67]

derived = [7, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(25, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 475

source roles = [power exponent4, 475, 67]

derived = [7, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(6, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 114

source roles = [power exponent5, 114, 67]

derived = [1, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(47, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 893

source roles = [power exponent6, 893, 67]

derived = [13, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(22, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 418

source roles = [power exponent7, 418, 67]

derived = [6, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(16, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 304

source roles = [power exponent8, 304, 67]

derived = [4, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(36, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 684

source roles = [power exponent9, 684, 67]

derived = [10, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(14, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 266

source roles = [power exponent10, 266, 67]

derived = [3, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(65, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 1235

source roles = [power exponent11, 1235, 67]

derived = [18, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(29, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 551

source roles = [power exponent12, 551, 67]

derived = [8, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(15, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 285

source roles = [power exponent13, 285, 67]

derived = [4, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(17, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 323

source roles = [power exponent14, 323, 67]

derived = [4, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(55, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 1045

source roles = [power exponent15, 1045, 67]

derived = [15, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(40, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 760

source roles = [power exponent16, 760, 67]

derived = [11, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(23, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 437

source roles = [power exponent17, 437, 67]

derived = [6, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(35, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 665

source roles = [power exponent18, 665, 67]

derived = [9, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(62, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 1178

source roles = [power exponent19, 1178, 67]

derived = [17, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(39, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 741

source roles = [power exponent20, 741, 67]

derived = [11, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(4, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 76

source roles = [power exponent21, 76, 67]

derived = [1, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(9, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 171

source roles = [power exponent22, 171, 67]

derived = [2, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(37, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 703

source roles = [power exponent23, 703, 67]

derived = [10, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(33, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 627

source roles = [power exponent24, 627, 67]

derived = [9, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(24, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 456

source roles = [power exponent25, 456, 67]

derived = [6, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(54, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 1026

source roles = [power exponent26, 1026, 67]

derived = [15, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(21, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 399

source roles = [power exponent27, 399, 67]

derived = [5, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(64, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 1216

source roles = [power exponent28, 1216, 67]

derived = [18, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(10, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 190

source roles = [power exponent29, 190, 67]

derived = [2, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(56, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 1064

source roles = [power exponent30, 1064, 67]

derived = [15, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(59, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 1121

source roles = [power exponent31, 1121, 67]

derived = [16, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(49, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 931

source roles = [power exponent32, 931, 67]

derived = [13, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(60, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 1140

source roles = [power exponent33, 1140, 67]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(1, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 19

source roles = [power exponent34, 19, 67]

derived = [0, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(19, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 361

source roles = [power exponent35, 361, 67]

derived = [5, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(26, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 494

source roles = [power exponent36, 494, 67]

derived = [7, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(25, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 475

source roles = [power exponent37, 475, 67]

derived = [7, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(6, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 114

source roles = [power exponent38, 114, 67]

derived = [1, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(47, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 893

source roles = [power exponent39, 893, 67]

derived = [13, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(22, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 418

source roles = [power exponent40, 418, 67]

derived = [6, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(16, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 304

source roles = [power exponent41, 304, 67]

derived = [4, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(36, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 684

source roles = [power exponent42, 684, 67]

derived = [10, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(14, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 266

source roles = [power exponent43, 266, 67]

derived = [3, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(65, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 1235

source roles = [power exponent44, 1235, 67]

derived = [18, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(29, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 551

source roles = [power exponent45, 551, 67]

derived = [8, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(15, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 285

source roles = [power exponent46, 285, 67]

derived = [4, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(17, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 323

source roles = [power exponent47, 323, 67]

derived = [4, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(55, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 1045

source roles = [power exponent48, 1045, 67]

derived = [15, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(40, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 760

source roles = [power exponent49, 760, 67]

derived = [11, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(23, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 437

source roles = [power exponent50, 437, 67]

derived = [6, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(35, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 665

source roles = [power exponent51, 665, 67]

derived = [9, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(62, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 1178

source roles = [power exponent52, 1178, 67]

derived = [17, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(39, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 741

source roles = [power exponent53, 741, 67]

derived = [11, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(4, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 76

source roles = [power exponent54, 76, 67]

derived = [1, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(9, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 171

source roles = [power exponent55, 171, 67]

derived = [2, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(37, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 703

source roles = [power exponent56, 703, 67]

derived = [10, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(33, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 627

source roles = [power exponent57, 627, 67]

derived = [9, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(24, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 456

source roles = [power exponent58, 456, 67]

derived = [6, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(54, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 1026

source roles = [power exponent59, 1026, 67]

derived = [15, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(21, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 399

source roles = [power exponent60, 399, 67]

derived = [5, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(64, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 1216

source roles = [power exponent61, 1216, 67]

derived = [18, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(10, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 190

source roles = [power exponent62, 190, 67]

derived = [2, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(56, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 1064

source roles = [power exponent63, 1064, 67]

derived = [15, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(59, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 1121

source roles = [power exponent64, 1121, 67]

derived = [16, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(49, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 931

source roles = [power exponent65, 931, 67]

derived = [13, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(60, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 1140

source roles = [power exponent66, 1140, 67]

derived = [17, 1]

source roles = [67, 19, [19, 26, 25, 6, 47, 22, 16, 36, 14, 65, 29, 15, 17, 55, 40, 23, 35, 62, 39, 4, 9, 37, 33, 24, 54, 21, 64, 10, 56, 59, 49, 60, 1, 19, 26, 25, 6, 47, 22, 16, 36, 14, 65, 29, 15, 17, 55, 40, 23, 35, 62, 39, 4, 9, 37, 33, 24, 54, 21, 64, 10, 56, 59, 49, 60, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S135 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S134 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=66，不以小數近似替代。
• S132 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=65，不以小數近似替代。
• S130 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=64，不以小數近似替代。
• S128 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=63，不以小數近似替代。
• S126 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=62，不以小數近似替代。
• S124 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=61，不以小數近似替代。
• S122 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=60，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=59，不以小數近似替代。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=50，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=49，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=48，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=47，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=46，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=45，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=44，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=43，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=42，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=41，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
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結論

(19, [19, 26, 25, 6, 47, 22, 16, 36, 14, 65, 29, 15, 17, 55, 40, 23, 35, 62, 39, 4, 9, 37, 33, 24, 54, 21, 64, 10, 56, 59, 49, 60, 1, 19, 26, 25, 6, 47, 22, 16, 36, 14, 65, 29, 15, 17, 55, 40, 23, 35, 62, 39, 4, 9, 37, 33, 24, 54, 21, 64, 10, 56, 59, 49, 60, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。