R0066-33611 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0061
完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-affine-solve；資料={"p":31,"a":11,"b":11,"c":21}。請依 [a,b,c,inverse,solution,substitution,unique] 欄序回答。
G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-affine-solve；資料={"p":31,"a":11,"b":11,"c":21}。請依 [a,b,c,inverse,solution,substitution,unique] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod31-fielddeep-affine-solve, [a, b, c, domain, operation, p]]
操作後
derived = [fielddeep-affine-solve, Exact_prime_field_Zp]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [31, [2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[1, 1, 3, 1], 是]
條件：無
完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。
規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
Field ORIGINAL a times proposed inverse := mul(11, 17)
操作後
Field ORIGINAL a times proposed inverse = 187
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [inverse substitution, 187, 31]
操作後
derived = [6, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S003
操作前
Field ORIGINAL c minus b := sub(21, 11)
操作後
Field ORIGINAL c minus b = 10
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Field ORIGINAL inverse times c minus b := mul(17, 10)
操作後
Field ORIGINAL inverse times c minus b = 170
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [affine solution, 170, 31]
操作後
derived = [5, 15]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
Field ORIGINAL a times solution := mul(11, 15)
操作後
Field ORIGINAL a times solution = 165
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Field ORIGINAL a solution plus b := sum(165, 11)
操作後
Field ORIGINAL a solution plus b = 176
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [equation substitution, 176, 31]
操作後
derived = [5, 21]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [31, 11, 11, 21, 17]
操作後
derived = [15, 21, 是]
條件：無
p為prime且a非0故可逆；先減b再乘inverse，代回同一模p等式。若兩解x,z，a(x−z)=0，乘inverse得x=z，故唯一；不除以0。
規則：Field_INVERT_nonzero_coefficient_and_UNIQUENESS · 依賴：G001, S010
S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL a solution plus b，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL a times solution，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL inverse times c minus b，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL c minus b，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL a times proposed inverse，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(11, 11, 21, 17, 15, 21, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 5bf1311a6296d0b0a4f5422a638062dba09ddb4a066b1887469645801d6bd927candidate record SHA-256: d54bde5a03f2e3d2228a54896a2d04a8a847878ee0ae7e1b73dc45495bef0938semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED