R0066-33655 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0080
完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":11,"element":4}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。
G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":11,"element":4}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]
操作後
derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [11, [2, 3]]
操作後
derived = [[1, 2], 是]
條件：無
完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。
規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 4
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [power exponent1, 4, 11]
操作後
derived = [0, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S003
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(4, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 16
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [power exponent2, 16, 11]
操作後
derived = [1, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S005
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(5, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 20
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [power exponent3, 20, 11]
操作後
derived = [1, 9]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S007
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(9, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 36
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [power exponent4, 36, 11]
操作後
derived = [3, 3]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S009
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(3, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 12
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [power exponent5, 12, 11]
操作後
derived = [1, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S011
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(1, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 4
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [power exponent6, 4, 11]
操作後
derived = [0, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S013
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(4, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 16
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
source roles = [power exponent7, 16, 11]
操作後
derived = [1, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S015
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(5, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 20
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [power exponent8, 20, 11]
操作後
derived = [1, 9]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S017
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(9, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 36
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
source roles = [power exponent9, 36, 11]
操作後
derived = [3, 3]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S019
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(3, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 12
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
source roles = [power exponent10, 12, 11]
操作後
derived = [1, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S021
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(1, 4)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 4
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [power exponent11, 4, 11]
操作後
derived = [0, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [11, 4, [4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3, 1, 4]]
操作後
derived = [4, 是]
條件：無
逐乘核element^p=element於此Z_p，零元素也允許。一般擴張域的Frobenius未必逐點固定，不能擴大本題的結論。
規則：Field_FROBENIUS_prime_field_INCLUDES_zero · 依賴：G001, S024
S025 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(4, 11, 4, 是, Frobenius_on_prime_field)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 45754889146565fb85e5643f3c18cdaae6b5b9e0952c8455145744234be3b5b0candidate record SHA-256: 648791e246a6e885835683f7c2ede2227ff6254d365f1bc4bfb94839d6016d6asemantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED