R0066-33661 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0086
完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":31,"element":10}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。
G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":31,"element":10}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]
操作後
derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [31, [2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[1, 1, 3, 1], 是]
條件：無
完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。
規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 10
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [power exponent1, 10, 31]
操作後
derived = [0, 10]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S003
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(10, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 100
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [power exponent2, 100, 31]
操作後
derived = [3, 7]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S005
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(7, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 70
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [power exponent3, 70, 31]
操作後
derived = [2, 8]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S007
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(8, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 80
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [power exponent4, 80, 31]
操作後
derived = [2, 18]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S009
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(18, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 180
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [power exponent5, 180, 31]
操作後
derived = [5, 25]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S011
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(25, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 250
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [power exponent6, 250, 31]
操作後
derived = [8, 2]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S013
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(2, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 20
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
source roles = [power exponent7, 20, 31]
操作後
derived = [0, 20]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S015
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(20, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 200
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [power exponent8, 200, 31]
操作後
derived = [6, 14]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S017
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(14, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 140
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
source roles = [power exponent9, 140, 31]
操作後
derived = [4, 16]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S019
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(16, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 160
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
source roles = [power exponent10, 160, 31]
操作後
derived = [5, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S021
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(5, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 50
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [power exponent11, 50, 31]
操作後
derived = [1, 19]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S023
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(19, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 190
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
source roles = [power exponent12, 190, 31]
操作後
derived = [6, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S025
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(4, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 40
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026
操作前
source roles = [power exponent13, 40, 31]
操作後
derived = [1, 9]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S027
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(9, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 90
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
source roles = [power exponent14, 90, 31]
操作後
derived = [2, 28]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S029
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(28, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 280
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
source roles = [power exponent15, 280, 31]
操作後
derived = [9, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S031
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(1, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 10
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032
操作前
source roles = [power exponent16, 10, 31]
操作後
derived = [0, 10]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S033
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(10, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 100
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
source roles = [power exponent17, 100, 31]
操作後
derived = [3, 7]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S035
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(7, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 70
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
source roles = [power exponent18, 70, 31]
操作後
derived = [2, 8]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S037
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(8, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 80
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038
操作前
source roles = [power exponent19, 80, 31]
操作後
derived = [2, 18]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S039
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(18, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 180
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040
操作前
source roles = [power exponent20, 180, 31]
操作後
derived = [5, 25]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S041
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(25, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 250
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042
操作前
source roles = [power exponent21, 250, 31]
操作後
derived = [8, 2]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S043
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(2, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 20
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044
操作前
source roles = [power exponent22, 20, 31]
操作後
derived = [0, 20]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S045
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(20, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 200
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046
操作前
source roles = [power exponent23, 200, 31]
操作後
derived = [6, 14]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S047
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(14, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 140
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048
操作前
source roles = [power exponent24, 140, 31]
操作後
derived = [4, 16]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S049
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(16, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 160
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050
操作前
source roles = [power exponent25, 160, 31]
操作後
derived = [5, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S051
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(5, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 50
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052
操作前
source roles = [power exponent26, 50, 31]
操作後
derived = [1, 19]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S053
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(19, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 190
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054
操作前
source roles = [power exponent27, 190, 31]
操作後
derived = [6, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S055
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(4, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 40
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056
操作前
source roles = [power exponent28, 40, 31]
操作後
derived = [1, 9]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S057
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(9, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 90
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058
操作前
source roles = [power exponent29, 90, 31]
操作後
derived = [2, 28]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S059
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(28, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 280
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060
操作前
source roles = [power exponent30, 280, 31]
操作後
derived = [9, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S061
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(1, 10)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 10
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062
操作前
source roles = [power exponent31, 10, 31]
操作後
derived = [0, 10]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S063
操作前
source roles = [31, 10, [10, 7, 8, 18, 25, 2, 20, 14, 16, 5, 19, 4, 9, 28, 1, 10, 7, 8, 18, 25, 2, 20, 14, 16, 5, 19, 4, 9, 28, 1, 10]]
操作後
derived = [10, 是]
條件：無
逐乘核element^p=element於此Z_p，零元素也允許。一般擴張域的Frobenius未必逐點固定，不能擴大本題的結論。
規則：Field_FROBENIUS_prime_field_INCLUDES_zero · 依賴：G001, S064
S065 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=24，不以小數近似替代。S048 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=23，不以小數近似替代。S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(10, 31, 10, 是, Frobenius_on_prime_field)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3db9f832bf3869350c2276e91ac2ab884e44a1a0cc0ebbc0bcdb8bfcfc318f3ccandidate record SHA-256: 5af1a212a82b9c163cc9c0f44b5b20b10d32346ff325c7ef2de87252324c26b3semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED