第 33669 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":67,"element":18}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":67,"element":18}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [67, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

derived = [[1, 1, 3, 2, 1, 4, 3], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 18

source roles = [power exponent1, 18, 67]

derived = [0, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(18, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 324

source roles = [power exponent2, 324, 67]

derived = [4, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(56, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 1008

source roles = [power exponent3, 1008, 67]

derived = [15, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(3, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 54

source roles = [power exponent4, 54, 67]

derived = [0, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(54, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 972

source roles = [power exponent5, 972, 67]

derived = [14, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(34, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 612

source roles = [power exponent6, 612, 67]

derived = [9, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(9, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 162

source roles = [power exponent7, 162, 67]

derived = [2, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(28, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 504

source roles = [power exponent8, 504, 67]

derived = [7, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(35, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 630

source roles = [power exponent9, 630, 67]

derived = [9, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(27, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 486

source roles = [power exponent10, 486, 67]

derived = [7, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(17, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 306

source roles = [power exponent11, 306, 67]

derived = [4, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(38, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 684

source roles = [power exponent12, 684, 67]

derived = [10, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(14, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 252

source roles = [power exponent13, 252, 67]

derived = [3, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(51, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 918

source roles = [power exponent14, 918, 67]

derived = [13, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(47, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 846

source roles = [power exponent15, 846, 67]

derived = [12, 42]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(42, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 756

source roles = [power exponent16, 756, 67]

derived = [11, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(19, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 342

source roles = [power exponent17, 342, 67]

derived = [5, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(7, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 126

source roles = [power exponent18, 126, 67]

derived = [1, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(59, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 1062

source roles = [power exponent19, 1062, 67]

derived = [15, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(57, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 1026

source roles = [power exponent20, 1026, 67]

derived = [15, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(21, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 378

source roles = [power exponent21, 378, 67]

derived = [5, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(43, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 774

source roles = [power exponent22, 774, 67]

derived = [11, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(37, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 666

source roles = [power exponent23, 666, 67]

derived = [9, 63]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(63, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 1134

source roles = [power exponent24, 1134, 67]

derived = [16, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(62, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 1116

source roles = [power exponent25, 1116, 67]

derived = [16, 44]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(44, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 792

source roles = [power exponent26, 792, 67]

derived = [11, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(55, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 990

source roles = [power exponent27, 990, 67]

derived = [14, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(52, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 936

source roles = [power exponent28, 936, 67]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(65, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 1170

source roles = [power exponent29, 1170, 67]

derived = [17, 31]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(31, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 558

source roles = [power exponent30, 558, 67]

derived = [8, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(22, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 396

source roles = [power exponent31, 396, 67]

derived = [5, 61]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(61, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 1098

source roles = [power exponent32, 1098, 67]

derived = [16, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(26, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 468

source roles = [power exponent33, 468, 67]

derived = [6, 66]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(66, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 1188

source roles = [power exponent34, 1188, 67]

derived = [17, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(49, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 882

source roles = [power exponent35, 882, 67]

derived = [13, 11]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(11, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 198

source roles = [power exponent36, 198, 67]

derived = [2, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(64, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 1152

source roles = [power exponent37, 1152, 67]

derived = [17, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(13, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 234

source roles = [power exponent38, 234, 67]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(33, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 594

source roles = [power exponent39, 594, 67]

derived = [8, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(58, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 1044

source roles = [power exponent40, 1044, 67]

derived = [15, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(39, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 702

source roles = [power exponent41, 702, 67]

derived = [10, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(32, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 576

source roles = [power exponent42, 576, 67]

derived = [8, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(40, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 720

source roles = [power exponent43, 720, 67]

derived = [10, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(50, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 900

source roles = [power exponent44, 900, 67]

derived = [13, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(29, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 522

source roles = [power exponent45, 522, 67]

derived = [7, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(53, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 954

source roles = [power exponent46, 954, 67]

derived = [14, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(16, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 288

source roles = [power exponent47, 288, 67]

derived = [4, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(20, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 360

source roles = [power exponent48, 360, 67]

derived = [5, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(25, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 450

source roles = [power exponent49, 450, 67]

derived = [6, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(48, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 864

source roles = [power exponent50, 864, 67]

derived = [12, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(60, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 1080

source roles = [power exponent51, 1080, 67]

derived = [16, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(8, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 144

source roles = [power exponent52, 144, 67]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(10, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 180

source roles = [power exponent53, 180, 67]

derived = [2, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(46, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 828

source roles = [power exponent54, 828, 67]

derived = [12, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(24, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 432

source roles = [power exponent55, 432, 67]

derived = [6, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(30, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 540

source roles = [power exponent56, 540, 67]

derived = [8, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(4, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 72

source roles = [power exponent57, 72, 67]

derived = [1, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(5, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 90

source roles = [power exponent58, 90, 67]

derived = [1, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(23, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 414

source roles = [power exponent59, 414, 67]

derived = [6, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(12, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 216

source roles = [power exponent60, 216, 67]

derived = [3, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(15, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 270

source roles = [power exponent61, 270, 67]

derived = [4, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(2, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 36

source roles = [power exponent62, 36, 67]

derived = [0, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(36, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 648

source roles = [power exponent63, 648, 67]

derived = [9, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(45, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 810

source roles = [power exponent64, 810, 67]

derived = [12, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(6, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 108

source roles = [power exponent65, 108, 67]

derived = [1, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(41, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 738

source roles = [power exponent66, 738, 67]

derived = [11, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=67 := mul(1, 18)

Field ORIGINAL previous power times element k=67 = 18

source roles = [power exponent67, 18, 67]

derived = [0, 18]

source roles = [67, 18, [18, 56, 3, 54, 34, 9, 28, 35, 27, 17, 38, 14, 51, 47, 42, 19, 7, 59, 57, 21, 43, 37, 63, 62, 44, 55, 52, 65, 31, 22, 61, 26, 66, 49, 11, 64, 13, 33, 58, 39, 32, 40, 50, 29, 53, 16, 20, 25, 48, 60, 8, 10, 46, 24, 30, 4, 5, 23, 12, 15, 2, 36, 45, 6, 41, 1, 18]]

derived = [18, 是]

逐步反向核對

• S137 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S136 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=67，不以小數近似替代。
• S134 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=66，不以小數近似替代。
• S132 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=65，不以小數近似替代。
• S130 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=64，不以小數近似替代。
• S128 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=63，不以小數近似替代。
• S126 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=62，不以小數近似替代。
• S124 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=61，不以小數近似替代。
• S122 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=60，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=59，不以小數近似替代。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=50，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=49，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=48，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=47，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=46，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=45，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=44，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=43，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=42，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=41，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=38，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=37，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=24，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=23，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(18, 67, 18, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。