第 33670 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":71,"element":19}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":71,"element":19}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [71, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

derived = [[1, 2, 3, 1, 5, 1, 7], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 19

source roles = [power exponent1, 19, 71]

derived = [0, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(19, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 361

source roles = [power exponent2, 361, 71]

derived = [5, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(6, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 114

source roles = [power exponent3, 114, 71]

derived = [1, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(43, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 817

source roles = [power exponent4, 817, 71]

derived = [11, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(36, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 684

source roles = [power exponent5, 684, 71]

derived = [9, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(45, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 855

source roles = [power exponent6, 855, 71]

derived = [12, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(3, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 57

source roles = [power exponent7, 57, 71]

derived = [0, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(57, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 1083

source roles = [power exponent8, 1083, 71]

derived = [15, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(18, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 342

source roles = [power exponent9, 342, 71]

derived = [4, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(58, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 1102

source roles = [power exponent10, 1102, 71]

derived = [15, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(37, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 703

source roles = [power exponent11, 703, 71]

derived = [9, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(64, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 1216

source roles = [power exponent12, 1216, 71]

derived = [17, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(9, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 171

source roles = [power exponent13, 171, 71]

derived = [2, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(29, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 551

source roles = [power exponent14, 551, 71]

derived = [7, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(54, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 1026

source roles = [power exponent15, 1026, 71]

derived = [14, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(32, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 608

source roles = [power exponent16, 608, 71]

derived = [8, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(40, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 760

source roles = [power exponent17, 760, 71]

derived = [10, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(50, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 950

source roles = [power exponent18, 950, 71]

derived = [13, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(27, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 513

source roles = [power exponent19, 513, 71]

derived = [7, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(16, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 304

source roles = [power exponent20, 304, 71]

derived = [4, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(20, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 380

source roles = [power exponent21, 380, 71]

derived = [5, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(25, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 475

source roles = [power exponent22, 475, 71]

derived = [6, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(49, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 931

source roles = [power exponent23, 931, 71]

derived = [13, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(8, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 152

source roles = [power exponent24, 152, 71]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(10, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 190

source roles = [power exponent25, 190, 71]

derived = [2, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(48, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 912

source roles = [power exponent26, 912, 71]

derived = [12, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(60, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 1140

source roles = [power exponent27, 1140, 71]

derived = [16, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(4, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 76

source roles = [power exponent28, 76, 71]

derived = [1, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(5, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 95

source roles = [power exponent29, 95, 71]

derived = [1, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(24, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 456

source roles = [power exponent30, 456, 71]

derived = [6, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(30, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 570

source roles = [power exponent31, 570, 71]

derived = [8, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(2, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 38

source roles = [power exponent32, 38, 71]

derived = [0, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(38, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 722

source roles = [power exponent33, 722, 71]

derived = [10, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(12, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 228

source roles = [power exponent34, 228, 71]

derived = [3, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(15, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 285

source roles = [power exponent35, 285, 71]

derived = [4, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(1, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 19

source roles = [power exponent36, 19, 71]

derived = [0, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(19, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 361

source roles = [power exponent37, 361, 71]

derived = [5, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(6, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 114

source roles = [power exponent38, 114, 71]

derived = [1, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(43, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 817

source roles = [power exponent39, 817, 71]

derived = [11, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(36, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 684

source roles = [power exponent40, 684, 71]

derived = [9, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(45, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 855

source roles = [power exponent41, 855, 71]

derived = [12, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(3, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 57

source roles = [power exponent42, 57, 71]

derived = [0, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(57, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 1083

source roles = [power exponent43, 1083, 71]

derived = [15, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(18, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 342

source roles = [power exponent44, 342, 71]

derived = [4, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(58, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 1102

source roles = [power exponent45, 1102, 71]

derived = [15, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(37, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 703

source roles = [power exponent46, 703, 71]

derived = [9, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(64, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 1216

source roles = [power exponent47, 1216, 71]

derived = [17, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(9, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 171

source roles = [power exponent48, 171, 71]

derived = [2, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(29, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 551

source roles = [power exponent49, 551, 71]

derived = [7, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(54, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 1026

source roles = [power exponent50, 1026, 71]

derived = [14, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(32, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 608

source roles = [power exponent51, 608, 71]

derived = [8, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(40, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 760

source roles = [power exponent52, 760, 71]

derived = [10, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(50, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 950

source roles = [power exponent53, 950, 71]

derived = [13, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(27, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 513

source roles = [power exponent54, 513, 71]

derived = [7, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(16, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 304

source roles = [power exponent55, 304, 71]

derived = [4, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(20, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 380

source roles = [power exponent56, 380, 71]

derived = [5, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(25, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 475

source roles = [power exponent57, 475, 71]

derived = [6, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(49, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 931

source roles = [power exponent58, 931, 71]

derived = [13, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(8, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 152

source roles = [power exponent59, 152, 71]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(10, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 190

source roles = [power exponent60, 190, 71]

derived = [2, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(48, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 912

source roles = [power exponent61, 912, 71]

derived = [12, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(60, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 1140

source roles = [power exponent62, 1140, 71]

derived = [16, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(4, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 76

source roles = [power exponent63, 76, 71]

derived = [1, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(5, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 95

source roles = [power exponent64, 95, 71]

derived = [1, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(24, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 456

source roles = [power exponent65, 456, 71]

derived = [6, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(30, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 570

source roles = [power exponent66, 570, 71]

derived = [8, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=67 := mul(2, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=67 = 38

source roles = [power exponent67, 38, 71]

derived = [0, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=68 := mul(38, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=68 = 722

source roles = [power exponent68, 722, 71]

derived = [10, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=69 := mul(12, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=69 = 228

source roles = [power exponent69, 228, 71]

derived = [3, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=70 := mul(15, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=70 = 285

source roles = [power exponent70, 285, 71]

derived = [4, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=71 := mul(1, 19)

Field ORIGINAL previous power times element k=71 = 19

source roles = [power exponent71, 19, 71]

derived = [0, 19]

source roles = [71, 19, [19, 6, 43, 36, 45, 3, 57, 18, 58, 37, 64, 9, 29, 54, 32, 40, 50, 27, 16, 20, 25, 49, 8, 10, 48, 60, 4, 5, 24, 30, 2, 38, 12, 15, 1, 19, 6, 43, 36, 45, 3, 57, 18, 58, 37, 64, 9, 29, 54, 32, 40, 50, 27, 16, 20, 25, 49, 8, 10, 48, 60, 4, 5, 24, 30, 2, 38, 12, 15, 1, 19]]

derived = [19, 是]

逐步反向核對

• S145 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S144 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=71，不以小數近似替代。
• S142 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=70，不以小數近似替代。
• S140 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=69，不以小數近似替代。
• S138 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=68，不以小數近似替代。
• S136 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=67，不以小數近似替代。
• S134 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=66，不以小數近似替代。
• S132 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=65，不以小數近似替代。
• S130 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=64，不以小數近似替代。
• S128 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=63，不以小數近似替代。
• S126 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=62，不以小數近似替代。
• S124 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=61，不以小數近似替代。
• S122 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=60，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=59，不以小數近似替代。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=50，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=49，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=48，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=47，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=46，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=45，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=44，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=43，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=42，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=41，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=38，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=37，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=24，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=23，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(19, 71, 19, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。