第 33671 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":73,"element":20}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":73,"element":20}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [73, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

derived = [[1, 1, 1, 3, 1, 3, 1], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 20

source roles = [power exponent1, 20, 73]

derived = [0, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(20, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 400

source roles = [power exponent2, 400, 73]

derived = [5, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(35, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 700

source roles = [power exponent3, 700, 73]

derived = [9, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(43, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 860

source roles = [power exponent4, 860, 73]

derived = [11, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(57, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 1140

source roles = [power exponent5, 1140, 73]

derived = [15, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(45, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 900

source roles = [power exponent6, 900, 73]

derived = [12, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(24, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 480

source roles = [power exponent7, 480, 73]

derived = [6, 42]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(42, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 840

source roles = [power exponent8, 840, 73]

derived = [11, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(37, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 740

source roles = [power exponent9, 740, 73]

derived = [10, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(10, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 200

source roles = [power exponent10, 200, 73]

derived = [2, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(54, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 1080

source roles = [power exponent11, 1080, 73]

derived = [14, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(58, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 1160

source roles = [power exponent12, 1160, 73]

derived = [15, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(65, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 1300

source roles = [power exponent13, 1300, 73]

derived = [17, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(59, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 1180

source roles = [power exponent14, 1180, 73]

derived = [16, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(12, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 240

source roles = [power exponent15, 240, 73]

derived = [3, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(21, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 420

source roles = [power exponent16, 420, 73]

derived = [5, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(55, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 1100

source roles = [power exponent17, 1100, 73]

derived = [15, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(5, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 100

source roles = [power exponent18, 100, 73]

derived = [1, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(27, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 540

source roles = [power exponent19, 540, 73]

derived = [7, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(29, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 580

source roles = [power exponent20, 580, 73]

derived = [7, 69]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(69, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 1380

source roles = [power exponent21, 1380, 73]

derived = [18, 66]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(66, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 1320

source roles = [power exponent22, 1320, 73]

derived = [18, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(6, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 120

source roles = [power exponent23, 120, 73]

derived = [1, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(47, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 940

source roles = [power exponent24, 940, 73]

derived = [12, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(64, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 1280

source roles = [power exponent25, 1280, 73]

derived = [17, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(39, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 780

source roles = [power exponent26, 780, 73]

derived = [10, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(50, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 1000

source roles = [power exponent27, 1000, 73]

derived = [13, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(51, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 1020

source roles = [power exponent28, 1020, 73]

derived = [13, 71]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(71, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 1420

source roles = [power exponent29, 1420, 73]

derived = [19, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(33, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 660

source roles = [power exponent30, 660, 73]

derived = [9, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(3, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 60

source roles = [power exponent31, 60, 73]

derived = [0, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(60, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 1200

source roles = [power exponent32, 1200, 73]

derived = [16, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(32, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 640

source roles = [power exponent33, 640, 73]

derived = [8, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(56, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 1120

source roles = [power exponent34, 1120, 73]

derived = [15, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(25, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 500

source roles = [power exponent35, 500, 73]

derived = [6, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(62, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 1240

source roles = [power exponent36, 1240, 73]

derived = [16, 72]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(72, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 1440

source roles = [power exponent37, 1440, 73]

derived = [19, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(53, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 1060

source roles = [power exponent38, 1060, 73]

derived = [14, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(38, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 760

source roles = [power exponent39, 760, 73]

derived = [10, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(30, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 600

source roles = [power exponent40, 600, 73]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(16, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 320

source roles = [power exponent41, 320, 73]

derived = [4, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(28, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 560

source roles = [power exponent42, 560, 73]

derived = [7, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(49, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 980

source roles = [power exponent43, 980, 73]

derived = [13, 31]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(31, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 620

source roles = [power exponent44, 620, 73]

derived = [8, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(36, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 720

source roles = [power exponent45, 720, 73]

derived = [9, 63]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(63, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 1260

source roles = [power exponent46, 1260, 73]

derived = [17, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(19, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 380

source roles = [power exponent47, 380, 73]

derived = [5, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(15, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 300

source roles = [power exponent48, 300, 73]

derived = [4, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(8, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 160

source roles = [power exponent49, 160, 73]

derived = [2, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(14, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 280

source roles = [power exponent50, 280, 73]

derived = [3, 61]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(61, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 1220

source roles = [power exponent51, 1220, 73]

derived = [16, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(52, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 1040

source roles = [power exponent52, 1040, 73]

derived = [14, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(18, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 360

source roles = [power exponent53, 360, 73]

derived = [4, 68]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(68, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 1360

source roles = [power exponent54, 1360, 73]

derived = [18, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(46, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 920

source roles = [power exponent55, 920, 73]

derived = [12, 44]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(44, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 880

source roles = [power exponent56, 880, 73]

derived = [12, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(4, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 80

source roles = [power exponent57, 80, 73]

derived = [1, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(7, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 140

source roles = [power exponent58, 140, 73]

derived = [1, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(67, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 1340

source roles = [power exponent59, 1340, 73]

derived = [18, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(26, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 520

source roles = [power exponent60, 520, 73]

derived = [7, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(9, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 180

source roles = [power exponent61, 180, 73]

derived = [2, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(34, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 680

source roles = [power exponent62, 680, 73]

derived = [9, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(23, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 460

source roles = [power exponent63, 460, 73]

derived = [6, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(22, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 440

source roles = [power exponent64, 440, 73]

derived = [6, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(2, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 40

source roles = [power exponent65, 40, 73]

derived = [0, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(40, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 800

source roles = [power exponent66, 800, 73]

derived = [10, 70]

Field ORIGINAL previous power times element k=67 := mul(70, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=67 = 1400

source roles = [power exponent67, 1400, 73]

derived = [19, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=68 := mul(13, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=68 = 260

source roles = [power exponent68, 260, 73]

derived = [3, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=69 := mul(41, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=69 = 820

source roles = [power exponent69, 820, 73]

derived = [11, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=70 := mul(17, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=70 = 340

source roles = [power exponent70, 340, 73]

derived = [4, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=71 := mul(48, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=71 = 960

source roles = [power exponent71, 960, 73]

derived = [13, 11]

Field ORIGINAL previous power times element k=72 := mul(11, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=72 = 220

source roles = [power exponent72, 220, 73]

derived = [3, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=73 := mul(1, 20)

Field ORIGINAL previous power times element k=73 = 20

source roles = [power exponent73, 20, 73]

derived = [0, 20]

source roles = [73, 20, [20, 35, 43, 57, 45, 24, 42, 37, 10, 54, 58, 65, 59, 12, 21, 55, 5, 27, 29, 69, 66, 6, 47, 64, 39, 50, 51, 71, 33, 3, 60, 32, 56, 25, 62, 72, 53, 38, 30, 16, 28, 49, 31, 36, 63, 19, 15, 8, 14, 61, 52, 18, 68, 46, 44, 4, 7, 67, 26, 9, 34, 23, 22, 2, 40, 70, 13, 41, 17, 48, 11, 1, 20]]

derived = [20, 是]

逐步反向核對

• S149 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S148 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=73，不以小數近似替代。
• S146 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=72，不以小數近似替代。
• S144 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=71，不以小數近似替代。
• S142 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=70，不以小數近似替代。
• S140 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=69，不以小數近似替代。
• S138 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=68，不以小數近似替代。
• S136 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=67，不以小數近似替代。
• S134 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=66，不以小數近似替代。
• S132 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=65，不以小數近似替代。
• S130 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=64，不以小數近似替代。
• S128 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=63，不以小數近似替代。
• S126 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=62，不以小數近似替代。
• S124 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=61，不以小數近似替代。
• S122 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=60，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=59，不以小數近似替代。
• S118 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=58，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=57，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=56，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=55，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=54，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=53，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=52，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=51，不以小數近似替代。
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結論

(20, 73, 20, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。