第 33672 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":79,"element":21}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":79,"element":21}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [79, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

derived = [[1, 1, 3, 4, 1, 2, 7], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 21

source roles = [power exponent1, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 441

source roles = [power exponent2, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 966

source roles = [power exponent3, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 378

source roles = [power exponent4, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 1302

source roles = [power exponent5, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 798

source roles = [power exponent6, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 168

source roles = [power exponent7, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 210

source roles = [power exponent8, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 1092

source roles = [power exponent9, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 1365

source roles = [power exponent10, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 462

source roles = [power exponent11, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 1407

source roles = [power exponent12, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 1344

source roles = [power exponent13, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 21

source roles = [power exponent14, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 441

source roles = [power exponent15, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 966

source roles = [power exponent16, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 378

source roles = [power exponent17, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 1302

source roles = [power exponent18, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 798

source roles = [power exponent19, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 168

source roles = [power exponent20, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 210

source roles = [power exponent21, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 1092

source roles = [power exponent22, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 1365

source roles = [power exponent23, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 462

source roles = [power exponent24, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 1407

source roles = [power exponent25, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 1344

source roles = [power exponent26, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 21

source roles = [power exponent27, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 441

source roles = [power exponent28, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 966

source roles = [power exponent29, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 378

source roles = [power exponent30, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 1302

source roles = [power exponent31, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 798

source roles = [power exponent32, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 168

source roles = [power exponent33, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 210

source roles = [power exponent34, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 1092

source roles = [power exponent35, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 1365

source roles = [power exponent36, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 462

source roles = [power exponent37, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 1407

source roles = [power exponent38, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 1344

source roles = [power exponent39, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 21

source roles = [power exponent40, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 441

source roles = [power exponent41, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 966

source roles = [power exponent42, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 378

source roles = [power exponent43, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 1302

source roles = [power exponent44, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 798

source roles = [power exponent45, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 168

source roles = [power exponent46, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 210

source roles = [power exponent47, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 1092

source roles = [power exponent48, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 1365

source roles = [power exponent49, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 462

source roles = [power exponent50, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 1407

source roles = [power exponent51, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 1344

source roles = [power exponent52, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 21

source roles = [power exponent53, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 441

source roles = [power exponent54, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 966

source roles = [power exponent55, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 378

source roles = [power exponent56, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 1302

source roles = [power exponent57, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 798

source roles = [power exponent58, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 168

source roles = [power exponent59, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 210

source roles = [power exponent60, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 1092

source roles = [power exponent61, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 1365

source roles = [power exponent62, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 462

source roles = [power exponent63, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 1407

source roles = [power exponent64, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 1344

source roles = [power exponent65, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 21

source roles = [power exponent66, 21, 79]

derived = [0, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=67 := mul(21, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=67 = 441

source roles = [power exponent67, 441, 79]

derived = [5, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=68 := mul(46, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=68 = 966

source roles = [power exponent68, 966, 79]

derived = [12, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=69 := mul(18, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=69 = 378

source roles = [power exponent69, 378, 79]

derived = [4, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=70 := mul(62, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=70 = 1302

source roles = [power exponent70, 1302, 79]

derived = [16, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=71 := mul(38, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=71 = 798

source roles = [power exponent71, 798, 79]

derived = [10, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=72 := mul(8, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=72 = 168

source roles = [power exponent72, 168, 79]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=73 := mul(10, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=73 = 210

source roles = [power exponent73, 210, 79]

derived = [2, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=74 := mul(52, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=74 = 1092

source roles = [power exponent74, 1092, 79]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=75 := mul(65, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=75 = 1365

source roles = [power exponent75, 1365, 79]

derived = [17, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=76 := mul(22, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=76 = 462

source roles = [power exponent76, 462, 79]

derived = [5, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=77 := mul(67, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=77 = 1407

source roles = [power exponent77, 1407, 79]

derived = [17, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=78 := mul(64, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=78 = 1344

source roles = [power exponent78, 1344, 79]

derived = [17, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=79 := mul(1, 21)

Field ORIGINAL previous power times element k=79 = 21

source roles = [power exponent79, 21, 79]

derived = [0, 21]

source roles = [79, 21, [21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21, 46, 18, 62, 38, 8, 10, 52, 65, 22, 67, 64, 1, 21]]

derived = [21, 是]

逐步反向核對

• S161 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S160 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=79，不以小數近似替代。
• S158 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=78，不以小數近似替代。
• S156 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=77，不以小數近似替代。
• S154 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=76，不以小數近似替代。
• S152 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=75，不以小數近似替代。
• S150 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=74，不以小數近似替代。
• S148 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=73，不以小數近似替代。
• S146 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=72，不以小數近似替代。
• S144 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=71，不以小數近似替代。
• S142 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=70，不以小數近似替代。
• S140 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=69，不以小數近似替代。
• S138 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=68，不以小數近似替代。
• S136 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=67，不以小數近似替代。
• S134 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=66，不以小數近似替代。
• S132 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=65，不以小數近似替代。
• S130 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=64，不以小數近似替代。
• S128 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=63，不以小數近似替代。
• S126 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=62，不以小數近似替代。
• S124 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
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結論

(21, 79, 21, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。