第 33673 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":83,"element":22}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":83,"element":22}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [83, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]]

derived = [[1, 2, 3, 3, 5, 6, 3, 2], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 22

source roles = [power exponent1, 22, 83]

derived = [0, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(22, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 484

source roles = [power exponent2, 484, 83]

derived = [5, 69]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(69, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 1518

source roles = [power exponent3, 1518, 83]

derived = [18, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(24, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 528

source roles = [power exponent4, 528, 83]

derived = [6, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(30, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 660

source roles = [power exponent5, 660, 83]

derived = [7, 79]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(79, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 1738

source roles = [power exponent6, 1738, 83]

derived = [20, 78]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(78, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 1716

source roles = [power exponent7, 1716, 83]

derived = [20, 56]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(56, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 1232

source roles = [power exponent8, 1232, 83]

derived = [14, 70]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(70, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 1540

source roles = [power exponent9, 1540, 83]

derived = [18, 46]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(46, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 1012

source roles = [power exponent10, 1012, 83]

derived = [12, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(16, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 352

source roles = [power exponent11, 352, 83]

derived = [4, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(20, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 440

source roles = [power exponent12, 440, 83]

derived = [5, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(25, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 550

source roles = [power exponent13, 550, 83]

derived = [6, 52]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(52, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 1144

source roles = [power exponent14, 1144, 83]

derived = [13, 65]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(65, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 1430

source roles = [power exponent15, 1430, 83]

derived = [17, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(19, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 418

source roles = [power exponent16, 418, 83]

derived = [5, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(3, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 66

source roles = [power exponent17, 66, 83]

derived = [0, 66]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(66, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 1452

source roles = [power exponent18, 1452, 83]

derived = [17, 41]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(41, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 902

source roles = [power exponent19, 902, 83]

derived = [10, 72]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(72, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 1584

source roles = [power exponent20, 1584, 83]

derived = [19, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(7, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 154

source roles = [power exponent21, 154, 83]

derived = [1, 71]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(71, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 1562

source roles = [power exponent22, 1562, 83]

derived = [18, 68]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(68, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 1496

source roles = [power exponent23, 1496, 83]

derived = [18, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(2, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 44

source roles = [power exponent24, 44, 83]

derived = [0, 44]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(44, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 968

source roles = [power exponent25, 968, 83]

derived = [11, 55]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(55, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 1210

source roles = [power exponent26, 1210, 83]

derived = [14, 48]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(48, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 1056

source roles = [power exponent27, 1056, 83]

derived = [12, 60]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(60, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 1320

source roles = [power exponent28, 1320, 83]

derived = [15, 75]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(75, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 1650

source roles = [power exponent29, 1650, 83]

derived = [19, 73]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(73, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 1606

source roles = [power exponent30, 1606, 83]

derived = [19, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(29, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 638

source roles = [power exponent31, 638, 83]

derived = [7, 57]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(57, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 1254

source roles = [power exponent32, 1254, 83]

derived = [15, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(9, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 198

source roles = [power exponent33, 198, 83]

derived = [2, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(32, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 704

source roles = [power exponent34, 704, 83]

derived = [8, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(40, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 880

source roles = [power exponent35, 880, 83]

derived = [10, 50]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(50, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 1100

source roles = [power exponent36, 1100, 83]

derived = [13, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(21, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 462

source roles = [power exponent37, 462, 83]

derived = [5, 47]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(47, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 1034

source roles = [power exponent38, 1034, 83]

derived = [12, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(38, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 836

source roles = [power exponent39, 836, 83]

derived = [10, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(6, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 132

source roles = [power exponent40, 132, 83]

derived = [1, 49]

Field ORIGINAL previous power times element k=41 := mul(49, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=41 = 1078

source roles = [power exponent41, 1078, 83]

derived = [12, 82]

Field ORIGINAL previous power times element k=42 := mul(82, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=42 = 1804

source roles = [power exponent42, 1804, 83]

derived = [21, 61]

Field ORIGINAL previous power times element k=43 := mul(61, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=43 = 1342

source roles = [power exponent43, 1342, 83]

derived = [16, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=44 := mul(14, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=44 = 308

source roles = [power exponent44, 308, 83]

derived = [3, 59]

Field ORIGINAL previous power times element k=45 := mul(59, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=45 = 1298

source roles = [power exponent45, 1298, 83]

derived = [15, 53]

Field ORIGINAL previous power times element k=46 := mul(53, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=46 = 1166

source roles = [power exponent46, 1166, 83]

derived = [14, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=47 := mul(4, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=47 = 88

source roles = [power exponent47, 88, 83]

derived = [1, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=48 := mul(5, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=48 = 110

source roles = [power exponent48, 110, 83]

derived = [1, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=49 := mul(27, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=49 = 594

source roles = [power exponent49, 594, 83]

derived = [7, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=50 := mul(13, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=50 = 286

source roles = [power exponent50, 286, 83]

derived = [3, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=51 := mul(37, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=51 = 814

source roles = [power exponent51, 814, 83]

derived = [9, 67]

Field ORIGINAL previous power times element k=52 := mul(67, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=52 = 1474

source roles = [power exponent52, 1474, 83]

derived = [17, 63]

Field ORIGINAL previous power times element k=53 := mul(63, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=53 = 1386

source roles = [power exponent53, 1386, 83]

derived = [16, 58]

Field ORIGINAL previous power times element k=54 := mul(58, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=54 = 1276

source roles = [power exponent54, 1276, 83]

derived = [15, 31]

Field ORIGINAL previous power times element k=55 := mul(31, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=55 = 682

source roles = [power exponent55, 682, 83]

derived = [8, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=56 := mul(18, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=56 = 396

source roles = [power exponent56, 396, 83]

derived = [4, 64]

Field ORIGINAL previous power times element k=57 := mul(64, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=57 = 1408

source roles = [power exponent57, 1408, 83]

derived = [16, 80]

Field ORIGINAL previous power times element k=58 := mul(80, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=58 = 1760

source roles = [power exponent58, 1760, 83]

derived = [21, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=59 := mul(17, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=59 = 374

source roles = [power exponent59, 374, 83]

derived = [4, 42]

Field ORIGINAL previous power times element k=60 := mul(42, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=60 = 924

source roles = [power exponent60, 924, 83]

derived = [11, 11]

Field ORIGINAL previous power times element k=61 := mul(11, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=61 = 242

source roles = [power exponent61, 242, 83]

derived = [2, 76]

Field ORIGINAL previous power times element k=62 := mul(76, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=62 = 1672

source roles = [power exponent62, 1672, 83]

derived = [20, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=63 := mul(12, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=63 = 264

source roles = [power exponent63, 264, 83]

derived = [3, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=64 := mul(15, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=64 = 330

source roles = [power exponent64, 330, 83]

derived = [3, 81]

Field ORIGINAL previous power times element k=65 := mul(81, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=65 = 1782

source roles = [power exponent65, 1782, 83]

derived = [21, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=66 := mul(39, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=66 = 858

source roles = [power exponent66, 858, 83]

derived = [10, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=67 := mul(28, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=67 = 616

source roles = [power exponent67, 616, 83]

derived = [7, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=68 := mul(35, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=68 = 770

source roles = [power exponent68, 770, 83]

derived = [9, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=69 := mul(23, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=69 = 506

source roles = [power exponent69, 506, 83]

derived = [6, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=70 := mul(8, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=70 = 176

source roles = [power exponent70, 176, 83]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=71 := mul(10, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=71 = 220

source roles = [power exponent71, 220, 83]

derived = [2, 54]

Field ORIGINAL previous power times element k=72 := mul(54, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=72 = 1188

source roles = [power exponent72, 1188, 83]

derived = [14, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=73 := mul(26, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=73 = 572

source roles = [power exponent73, 572, 83]

derived = [6, 74]

Field ORIGINAL previous power times element k=74 := mul(74, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=74 = 1628

source roles = [power exponent74, 1628, 83]

derived = [19, 51]

Field ORIGINAL previous power times element k=75 := mul(51, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=75 = 1122

source roles = [power exponent75, 1122, 83]

derived = [13, 43]

Field ORIGINAL previous power times element k=76 := mul(43, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=76 = 946

source roles = [power exponent76, 946, 83]

derived = [11, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=77 := mul(33, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=77 = 726

source roles = [power exponent77, 726, 83]

derived = [8, 62]

Field ORIGINAL previous power times element k=78 := mul(62, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=78 = 1364

source roles = [power exponent78, 1364, 83]

derived = [16, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=79 := mul(36, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=79 = 792

source roles = [power exponent79, 792, 83]

derived = [9, 45]

Field ORIGINAL previous power times element k=80 := mul(45, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=80 = 990

source roles = [power exponent80, 990, 83]

derived = [11, 77]

Field ORIGINAL previous power times element k=81 := mul(77, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=81 = 1694

source roles = [power exponent81, 1694, 83]

derived = [20, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=82 := mul(34, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=82 = 748

source roles = [power exponent82, 748, 83]

derived = [9, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=83 := mul(1, 22)

Field ORIGINAL previous power times element k=83 = 22

source roles = [power exponent83, 22, 83]

derived = [0, 22]

source roles = [83, 22, [22, 69, 24, 30, 79, 78, 56, 70, 46, 16, 20, 25, 52, 65, 19, 3, 66, 41, 72, 7, 71, 68, 2, 44, 55, 48, 60, 75, 73, 29, 57, 9, 32, 40, 50, 21, 47, 38, 6, 49, 82, 61, 14, 59, 53, 4, 5, 27, 13, 37, 67, 63, 58, 31, 18, 64, 80, 17, 42, 11, 76, 12, 15, 81, 39, 28, 35, 23, 8, 10, 54, 26, 74, 51, 43, 33, 62, 36, 45, 77, 34, 1, 22]]

derived = [22, 是]

逐步反向核對

• S169 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S168 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S167 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=83，不以小數近似替代。
• S166 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S165 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=82，不以小數近似替代。
• S164 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S163 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=81，不以小數近似替代。
• S162 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=80，不以小數近似替代。
• S160 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=79，不以小數近似替代。
• S158 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=78，不以小數近似替代。
• S156 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=77，不以小數近似替代。
• S154 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=76，不以小數近似替代。
• S152 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=75，不以小數近似替代。
• S150 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=74，不以小數近似替代。
• S148 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=73，不以小數近似替代。
• S146 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=72，不以小數近似替代。
• S144 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=71，不以小數近似替代。
• S142 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=70，不以小數近似替代。
• S140 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=69，不以小數近似替代。
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結論

(22, 83, 22, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。