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第 17046 題：線性映射的像

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0033-17046 · q-20261014-advance-20261102-r03-linear-map-image-0096

原題與已知條件

同一精確2×2線性映射與column-span證書。操作=image-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[2,0],[0,2]],"target":[41,1],"bound":1}。請依 [target,bound,integer_witnesses,global_membership,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 同一精確2×2線性映射與column-span證書。操作=image-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[2,0],[0,2]],"target":[41,1],"bound":1}。請依 [target,bound,integer_witnesses,global_membership,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · calculation

操作前

real map determinant diagonal product := mul(2, 2)

操作後

real map determinant diagonal product = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

real map determinant off-diagonal product := mul(0, 0)

操作後

real map determinant off-diagonal product = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

real map exact determinant := sub(4, 0)

操作後

real map exact determinant = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

same ordered integer matrix=[[2, 0], [0, 2]];usual real map T:R2 to R2;original columns=[[2, 0], [0, 2]]

操作後

exact determinant=4;rank=2

條件：無

非零det給秩2；det=0時還要看是否全零，才分秩0或1。固定同一矩陣與通常實向量空間，不把列當欄或自動把像當整個codomain。

步驟識別與依賴

規則：real_map_same_matrix_det_and_nonzero_rank_cases · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

first adjugate column row0 first term := mul(2, 2)

操作後

first adjugate column row0 first term = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

first adjugate column row0 second term := mul(0, 0)

操作後

first adjugate column row0 second term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

first adjugate column image coordinate0 := sum(4, 0)

操作後

first adjugate column image coordinate0 = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

first adjugate column row1 first term := mul(0, 2)

操作後

first adjugate column row1 first term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

first adjugate column row1 second term := mul(2, 0)

操作後

first adjugate column row1 second term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

first adjugate column image coordinate1 := sum(0, 0)

操作後

first adjugate column image coordinate1 = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

second adjugate column row0 first term := mul(2, 0)

操作後

second adjugate column row0 first term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

second adjugate column row0 second term := mul(0, 2)

操作後

second adjugate column row0 second term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

second adjugate column image coordinate0 := sum(0, 0)

操作後

second adjugate column image coordinate0 = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

second adjugate column row1 first term := mul(0, 0)

操作後

second adjugate column row1 first term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

second adjugate column row1 second term := mul(2, 2)

操作後

second adjugate column row1 second term = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

second adjugate column image coordinate1 := sum(0, 4)

操作後

second adjugate column image coordinate1 = 4

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

same matrix=[[2, 0], [0, 2]];adjugate columns=[[2, 0], [0, 2]];verified products=[[4, 0], [0, 4]]

操作後

M*adjugate=det*I;det=4 nonzero;inverse=adjugate/det;kernel basis=[];image basis ORIGINAL columns=[[2, 0], [0, 2]]

條件：無

已逐座標核M乘兩個adjugate欄等於det倍標準基；除非零det得逆。因此Mx=0僅零解，且每個實目標有原像，兩個原欄形成像的basis；空kernel basis表示零空間，不是kernel空集合。

步驟識別與依賴

規則：real_map_full_rank_inverse_both_kernel_and_image · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

real kernel source dimension minus rank := sub(2, 2)

操作後

real kernel source dimension minus rank = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

same real map rank=2;full kernel basis=[];full image basis=[[2, 0], [0, 2]]

操作後

nullity=0;image basis cardinality=2;rank plus nullity=2

條件：無

這些是已證完整實空間的basis個數，不是搜尋格點數；rank、nullity與像basis數量分開保留，同一來源維度為2。

步驟識別與依賴

規則：real_map_full_space_basis_counts_not_grid_counts · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

image Cramer first diagonal target term := mul(2, 41)

操作後

image Cramer first diagonal target term = 82

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

image Cramer first off-diagonal target term := mul(0, 1)

操作後

image Cramer first off-diagonal target term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

image Cramer first numerator := sub(82, 0)

操作後

image Cramer first numerator = 82

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

image Cramer first real coordinate := div(82, 4)

操作後

image Cramer first real coordinate = 41/2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

image Cramer second signed target term := mul(0, 41)

操作後

image Cramer second signed target term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

image Cramer second diagonal target term := mul(2, 1)

操作後

image Cramer second diagonal target term = 2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

image Cramer second numerator := sum(0, 2)

操作後

image Cramer second numerator = 2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

image Cramer second real coordinate := div(2, 4)

操作後

image Cramer second real coordinate = 1/2

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

image Cramer substitution row0 first term := mul(2, 41/2)

操作後

image Cramer substitution row0 first term = 41

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

image Cramer substitution row0 second term := mul(0, 1/2)

操作後

image Cramer substitution row0 second term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

image Cramer substitution image coordinate0 := sum(41, 0)

操作後

image Cramer substitution image coordinate0 = 41

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

image Cramer substitution row1 first term := mul(0, 41/2)

操作後

image Cramer substitution row1 first term = 0

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

image Cramer substitution row1 second term := mul(2, 1/2)

操作後

image Cramer substitution row1 second term = 1

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

image Cramer substitution image coordinate1 := sum(0, 1)

操作後

image Cramer substitution image coordinate1 = 1

條件：無

依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

original target=[41, 1];same invertible real matrix=[[2, 0], [0, 2]];exact solved coordinates=[41/2, 1/2]

操作後

substitution equals target;unique real preimage;integer coordinates NOT required

條件：無

用同一det的Cramer分式求解，逐座標代回原M；任何兩解之差在零kernel，所以唯一。分數座標亦是合法實原像，不能加整數條件。

步驟識別與依賴

規則：image_full_rank_real_solution_substitution_and_uniqueness · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[-2, -2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[-2, 0];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[-2, 2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[0, -2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[0, 0];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[0, 2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[2, -2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[2, 0];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[41, 1]

操作後

exact row-dot image=[2, 2];equals target=否

條件：無

只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。

步驟識別與依賴

規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

image bounded search:bound=1;complete integer box pair count=9

操作後

all hits in original scan order=[]

條件：無

上下界含端點，兩座標共有(2b+1)²組；每組已核，清單只對這個盒完整。

步驟識別與依賴

規則：real_map_complete_bounded_list_not_unbounded_search · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

bounded integer preimages in original scan order=[];SEPARATE full-real membership=是;global certificate=[unique_solution, [41/2, 1/2]]

操作後

boundary=bounded_failure_not_global_nonmembership

條件：無

盒內無整數原像與存在實原像可同時成立，分數解甚至所有整數盒都找不到。若全域不屬像，也必須靠前面完整實空間證書，不能只用這次搜尋失敗。

步驟識別與依賴

規則：image_bounded_failure_not_global_real_nonmembership · 依賴：G001, S044

逐步反向核對

  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution image coordinate1，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row1 second term，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row1 first term，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution image coordinate0，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row0 second term，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row0 first term，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second real coordinate，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second numerator，不以小數近似替代。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second diagonal target term，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second signed target term，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first real coordinate，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first numerator，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first off-diagonal target term，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first diagonal target term，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real kernel source dimension minus rank，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column image coordinate1，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row1 second term，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row1 first term，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column image coordinate0，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row0 second term，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row0 first term，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column image coordinate1，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row1 second term，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row1 first term，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column image coordinate0，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row0 second term，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row0 first term，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map exact determinant，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([41, 1], 1, [], 是, bounded_failure_not_global_nonmembership)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: a2c859ac46ea668df1de5a69d2dc0682ed676af9d2c0a792968d9a3f7f273a34
  • candidate record SHA-256: 8336458413402ba1b34e45c7d0ba7cb80c654b7e88c3f01eb43cd2859ad96df0
  • semantic review receipt SHA-256: 4a0957a15bb33fbe5f663e37a8babf46ab5a291eb5d1dfa3bf9045204cd43ec3
  • question-first witness SHA-256: 22a8506bcfa34c503216083d1a8e813d61aad22dbc81589c0d41089c528a7f93
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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