第 491 題：Bayes定理

原題與已知條件

完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-partition-posterior；資料={"masses":[[1,23],[1,23],[1,23],[20,23]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2],"target_index":1}。請依 [target_index,prior,likelihood,evidence_mass,posterior,partition_certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-partition-posterior；資料={"masses":[[1,23],[1,23],[1,23],[20,23]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2],"target_index":1}。請依 [target_index,prior,likelihood,evidence_mass,posterior,partition_certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

同一完整有限機率律；假說須互斥且完備、先驗與證據質量為正，後驗＝聯合質量除以 P(E)。

• mko-bayes-theorem

逐步推導

P(Ω) := sum(1/23, 1/23, 1/23, 20/23)

P(Ω) = 1

P(E) := sum(1/23, 1/23)

P(E) = 2/23

H_i=[[0, 1], [2, 3]]

pairwise disjoint; union=Ω

P(H_0) := sum(1/23, 1/23)

P(H_0) = 2/23

P(E∩H_0) := sum(1/23)

P(E∩H_0) = 1/23

P(E|H_0) := div(1/23, 2/23)

P(E|H_0) = 1/2

P(E|H_0)P(H_0) := mul(1/2, 2/23)

P(E|H_0)P(H_0) = 1/23

P(H_1) := sum(1/23, 20/23)

P(H_1) = 21/23

P(E∩H_1) := sum(1/23)

P(E∩H_1) = 1/23

P(E|H_1) := div(1/23, 21/23)

P(E|H_1) = 1/21

P(E|H_1)P(H_1) := mul(1/21, 21/23)

P(E|H_1)P(H_1) = 1/23

sum of partition joints := sum(1/23, 1/23)

sum of partition joints = 2/23

partition sum=2/23; direct P(E)=2/23

equal: 是

P(H_1|E) := div(1/23, 2/23)

P(H_1|E) = 1/2

posterior·P(E) := mul(1/2, 2/23)

posterior·P(E) = 1/23

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 posterior·P(E)，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_1|E)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of partition joints，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)P(H_1)，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_1)，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_1)，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)P(H_0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_0)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_0)，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E)，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(Ω)，不以小數近似替代。

結論

(1, 21/23, 1/21, 2/23, 1/2, partition_pairwise_disjoint_exhaustive)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。