第 506 題：Bayes定理

原題與已知條件

完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-total-evidence；資料={"masses":[[1,13],[1,13],[1,13],[10,13]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2]}。請依 [priors,likelihoods,joints,total,evidence_mass,equal] 欄序回答。

• G001 — 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-total-evidence；資料={"masses":[[1,13],[1,13],[1,13],[10,13]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2]}。請依 [priors,likelihoods,joints,total,evidence_mass,equal] 欄序回答。

定義與適用範圍

同一完整有限機率律；各假說的先驗乘似然相加須等於直接計算的 P(E)。

• mko-bayes-theorem

逐步推導

P(Ω) := sum(1/13, 1/13, 1/13, 10/13)

P(Ω) = 1

P(E) := sum(1/13, 1/13)

P(E) = 2/13

H_i=[[0, 1], [2, 3]]

pairwise disjoint; union=Ω

P(H_0) := sum(1/13, 1/13)

P(H_0) = 2/13

P(E∩H_0) := sum(1/13)

P(E∩H_0) = 1/13

P(E|H_0) := div(1/13, 2/13)

P(E|H_0) = 1/2

P(E|H_0)P(H_0) := mul(1/2, 2/13)

P(E|H_0)P(H_0) = 1/13

P(H_1) := sum(1/13, 10/13)

P(H_1) = 11/13

P(E∩H_1) := sum(1/13)

P(E∩H_1) = 1/13

P(E|H_1) := div(1/13, 11/13)

P(E|H_1) = 1/11

P(E|H_1)P(H_1) := mul(1/11, 11/13)

P(E|H_1)P(H_1) = 1/13

sum of partition joints := sum(1/13, 1/13)

sum of partition joints = 2/13

partition sum=2/13; direct P(E)=2/13

equal: 是

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of partition joints，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)P(H_1)，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_1)，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_1)，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)P(H_0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_0)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_0)，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E)，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(Ω)，不以小數近似替代。

結論

([2/13, 11/13], [1/2, 1/11], [1/13, 1/13], 2/13, 2/13, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。