第 17785 題：無窮級數

原題與已知條件

固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-term-zero-boundary；資料={"shift":10,"prefix_length":5}。請依 [shift,prefix_length,terms,terms_tend_zero,series_converges,boundary] 欄序回答。

• G001 — 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-term-zero-boundary；資料={"shift":10,"prefix_length":5}。請依 [shift,prefix_length,terms,terms_tend_zero,series_converges,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-infinite-series

逐步推導

harmonic displayed index0 denominator := sum(0, 10)

harmonic displayed index0 denominator = 10

harmonic displayed index0 term := div(1, 10)

harmonic displayed index0 term = 1/10

harmonic displayed index1 denominator := sum(1, 10)

harmonic displayed index1 denominator = 11

harmonic displayed index1 term := div(1, 11)

harmonic displayed index1 term = 1/11

harmonic displayed index2 denominator := sum(2, 10)

harmonic displayed index2 denominator = 12

harmonic displayed index2 term := div(1, 12)

harmonic displayed index2 term = 1/12

harmonic displayed index3 denominator := sum(3, 10)

harmonic displayed index3 denominator = 13

harmonic displayed index3 term := div(1, 13)

harmonic displayed index3 term = 1/13

harmonic displayed index4 denominator := sum(4, 10)

harmonic displayed index4 denominator = 14

harmonic displayed index4 term := div(1, 14)

harmonic displayed index4 term = 1/14

shifted harmonic series:DECLARED whole positive tail b_k=1/(k+10),k>=0;shift>0

b_k decreases to0:for ANY epsilon>0 choose N with N+shift>1/epsilon,then every k>=N has b_k<epsilon

shifted harmonic series:same full absolute/positive series over denominators m=10,11,...

for every integer j>=0 large enough that2^j>=shift-1,the block m=2^j+1..2^(j+1) has2^j terms each>=1/2^(j+1);each block sum>=1/2;infinitely many disjoint blocks make partial sums unbounded

displayed finite prefix=[1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14];SEPARATE complete harmonic-tail proof retained

terms tend to0=是;series converges=否;terms_tend_to_zero_but_shifted_harmonic_series_diverges

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index4 term，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index4 denominator，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index3 term，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index3 denominator，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index2 term，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index2 denominator，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index1 term，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index1 denominator，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index0 term，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index0 denominator，不以小數近似替代。

結論

(10, 5, [1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14], 是, 否, terms_tend_to_zero_but_shifted_harmonic_series_diverges)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。