R0039-20101 · q-20261014-advance-20261107-r01-finite-group-action-0051
完整有限群Cayley table、完整有限集合與total action table。操作=groupaction-compatibility-audit；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":2,"action_table":[[0,1],[1,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整有限群Cayley table、完整有限集合與total action table。操作=groupaction-compatibility-audit；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":2,"action_table":[[0,1],[1,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=groupaction-compatibility-audit;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[triple_count, first_failure, compatible, certificate]
條件：無
原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
ORIGINAL complete group-label carrier Fin(2);declared identity label=0;Cayley table row g,column h gives g*h=[[0, 1], [1, 0]]
操作後
ORIGINAL complete point carrier Fin(2);TOTAL action table row g,column x gives g*x=[[0, 1], [1, 0]];all entries in range,so structural closure/totality checked;GROUP AXIOMS not assumed from shape
條件：無
兩張表的column角色不同，一張h是群標籤，一張x是作用點。in-range完整表只保closed／total，群候選可不滿足公理，不能因叫group_table就先填True。
規則：groupaction_two_table_roles_complete_candidate_not_group_assumption · 依賴：G001, S001
操作前
ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 0];actual group product=0;action table roles unchanged
操作後
ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]];earliest failure retained,not overwritten
條件：無
左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。
規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S002
操作前
ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 1];actual group product=1;action table roles unchanged
操作後
ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]];earliest failure retained,not overwritten
條件：無
左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。
規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S003
操作前
ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 0];actual group product=1;action table roles unchanged
操作後
ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]];earliest failure retained,not overwritten
條件：無
左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。
規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S004
操作前
ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 1];actual group product=0;action table roles unchanged
操作後
ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]];earliest failure retained,not overwritten
條件：無
左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。
規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S005
操作前
group action ordered group-pair count := mul(2, 2)
操作後
group action ordered group-pair count = 4
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
group action complete triple-domain count := mul(4, 2)
操作後
group action complete triple-domain count = 8
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
COMPLETE triple domain order^2*point_count=8;this derivation ACTUALLY checked all8 triples
操作後
compatibility=是;FIRST source-order failure[g,h,x,left,right]=null;null means NO failure anywhere
條件：無
triple_count是完整量詞域大小，不是把原型在第一錯誤處停止的迭代數冒充測量。本推導確實列了每對g,h的全部點，所以null給全域通過，首失敗則保確切資料與順序。
規則：groupaction_full_domain_count_first_failure_not_early_stop_measurement · 依賴：G001, S008
操作前
this component audited ALL group-group-point compatibility triples
操作後
compatibility flag alone does NOT establish identity-action or group qualification
條件：無
完整相容性是其中一項責任，不能代替e*x=x或群表資格。即使COMPAT通過，這題仍不額外聲稱整體action有效。
規則：groupaction_compatibility_component_not_full_action_claim · 依賴：G001, S009
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action complete triple-domain count，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action ordered group-pair count，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(8, null, 是, all_g_h_x_checked)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 16f63ece74a37eb4694f02899d932dadd6dab464c9718c600c7c5ce8068de43ccandidate record SHA-256: e64bfc6c4e811f647cedee2df7b01c7156cab52e862a495fc5c3cdea261b97ebsemantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED