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第 21821 題：有限群作用的穩定子群

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0042-21821 · q-20261014-advance-20261109-r01-finite-group-stabilizer-0071

原題與已知條件

完整已認證有限群作用與指定point。操作=stabilizer-membership-audit；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":6,"action_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,0,2,3,4,5]],"point":2,"group_element":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整已認證有限群作用與指定point。操作=stabilizer-membership-audit；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":6,"action_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,0,2,3,4,5]],"point":2,"group_element":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=stabilizer-membership-audit;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[group_element, point, image, fixes_point, in_stabilizer]

條件：無

原題歷史介面標記保留，本頁直接列來源有序欄位，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No保留其原聲稱範圍。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL complete group-label carrier Fin(2);declared identity label=0;Cayley table row g,column h gives g*h=[[0, 1], [1, 0]]

操作後

ORIGINAL complete point carrier Fin(6);TOTAL action table row g,column x gives g*x=[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 0, 2, 3, 4, 5]];all entries in range,so structural closure/totality checked;GROUP AXIOMS not assumed from shape

條件：無

兩張表的column角色不同，一張h是群標籤，一張x是作用點。in-range完整表只保closed／total，群候選可不滿足公理，不能因叫group_table就先填True。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_two_table_roles_complete_candidate_not_group_assumption · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ORIGINAL closed Cayley table=[[0, 1], [1, 0]];ACTUAL declared group identity=0

操作後

ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]];two-sided group identity=是

條件：無

群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(2)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(2)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(2)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(2)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=0;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 否], [1, 0, 0, 是]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=1;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是

操作後

group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair

條件：無

完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ACTUAL declared identity label=0;ORIGINAL identity action row=[0, 1, 2, 3, 4, 5];complete point carrier Fin(6)

操作後

ALL ordered [point,identity_image,equality] rows=[[0, 0, 是], [1, 1, 是], [2, 2, 是], [3, 3, 是], [4, 4, 是], [5, 5, 是]];identity-action axiom=是

條件：無

逐作用點驗e*x=x，e是來源宣告的真標籤，不預設0；此axiom與群乘法表的雙邊identity責任分開。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_every_point_identity_action_not_group_identity · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 0];actual group product=0;action table roles unchanged

操作後

ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten

條件：無

左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 1];actual group product=1;action table roles unchanged

操作後

ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten

條件：無

左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 0];actual group product=1;action table roles unchanged

操作後

ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten

條件：無

左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 1];actual group product=0;action table roles unchanged

操作後

ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten

條件：無

左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

group action ordered group-pair count := mul(2, 2)

操作後

group action ordered group-pair count = 4

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

group action complete triple-domain count := mul(4, 6)

操作後

group action complete triple-domain count = 24

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

COMPLETE triple domain order^2*point_count=24;this derivation ACTUALLY checked all24 triples

操作後

compatibility=是;FIRST source-order failure[g,h,x,left,right]=null;null means NO failure anywhere

條件：無

triple_count是完整量詞域大小，不是把原型在第一錯誤處停止的迭代數冒充測量。本推導確實列了每對g,h的全部點，所以null給全域通過，首失敗則保確切資料與順序。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_full_domain_count_first_failure_not_early_stop_measurement · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

ORIGINAL group-row label=0;ORIGINAL point-indexed action row=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equals full point carrier=是;original row NOT reordered

條件：無

排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL group-row label=1;ORIGINAL point-indexed action row=[1, 0, 2, 3, 4, 5]

操作後

sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equals full point carrier=是;original row NOT reordered

條件：無

排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

CURRENT original group/action:group=是,identity_action=是,compatibility=是,permutations=是;actual identity=0

操作後

qualified full action;actual inverse list=[0, 1];permutation rows alone would NOT suffice

條件：無

先驗真群與完整作用公理，不因每列像排列就直接算stabilizer。identity取原標籤，不預設0；舊純函式只接本題表與trace。

步驟識別與依賴

規則：stabilizer_qualified_actual_group_action_before_fixing · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Stabilizer point2 complete fixing count := sum(1, 1)

操作後

Stabilizer point2 complete fixing count = 2

條件：無

保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

ORIGINAL point=2;ALL [group_element,image,fixes] rows=[[0, 2, 是], [1, 2, 是]]

操作後

full stabilizer in ORIGINAL group order=[0, 1];stabilizer order=2

條件：無

stabilizer是固定此點的群元素集合，不是點的orbit，也不只是一個fixed-element witness。即使指定g不固定，identity仍屬完整stabilizer。

步驟識別與依賴

規則：stabilizer_ALL_group_elements_fixing_not_orbit · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL group element=0,point=2,actual image=2;complete stabilizer=[0, 1]

操作後

fixes_point=是;in_stabilizer=是;flags agree by the full fixing-set definition

條件：無

逐指定g讀真image再與point比較，另以完整member列表核對；不要把identity存在改成每個g都固定。

步驟識別與依賴

規則：stabilizer_tested_element_image_iff_membership · 依賴：G001, S023

逐步反向核對

  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Stabilizer point2 complete fixing count，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action complete triple-domain count，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action ordered group-pair count，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(0, 2, 2, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: fcfde6705230b391f261bf0b1c110b05082046b02fe1d8b8d0db3095151a485e
  • candidate record SHA-256: 95ebd11346bf7d3676163b9c2154b4c4ed8ffad4b8b9c83a98279949353f4755
  • semantic review receipt SHA-256: dd44555041dfbb6fe9936aa00b9a5f8c5982c2784ef61dd0cbd5d1a303a49c1a
  • question-first witness SHA-256: 9a6011263f6ac53b9a1fd57addf2f3e2f6088b54802c539f332d689480dc2d17
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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