R0041-21496 · q-20261014-advance-20261109-r02-bolzano-weierstrass-theorem-real-0046
whole-sequence bounded certificate與symbolic strictly increasing infinite index。操作=bw-periodic-subsequence；資料={"period_values":[21,-22,[23,2]],"residue":2,"j":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — whole-sequence bounded certificate與symbolic strictly increasing infinite index。操作=bw-periodic-subsequence；資料={"period_values":[21,-22,[23,2]],"residue":2,"j":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=bw-periodic-subsequence;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[residue, j, k_j, value, constant_subsequence_certificate, certificate]
條件：無
原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
ORIGINAL period index=0;value=21;absolute value=21
操作後
prefix absolute maximum after this original entry=21
條件：無
逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。
規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S001
操作前
ORIGINAL period index=1;value=-22;absolute value=22
操作後
prefix absolute maximum after this original entry=22
條件：無
逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。
規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S002
操作前
ORIGINAL period index=2;value=23/2;absolute value=23/2
操作後
prefix absolute maximum after this original entry=22
條件：無
逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。
規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S003
操作前
ORIGINAL NONEMPTY full period=[21, -22, 23/2];period length=3
操作後
for EVERY n>=0,unique n=3q+r with0<=r<3 gives a_n=period_values[r];therefore |a_n|<=22
條件：無
全稱有界來自明示永遠重複的law與除法算法，不是由幾個觀察值推定未來。這證指定模型，沒有把所有有界實數列的Bolzano-Weierstrass定理化成有限取樣。
規則：bw_periodic_law_for_all_n_not_finite_observation · 依賴：G001, S004
操作前
bw period times ORIGINAL j := mul(3, 21)
操作後
bw period times ORIGINAL j = 63
條件：無
依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
bw ORIGINAL residue subsequence evaluated index := sum(2, 63)
操作後
bw ORIGINAL residue subsequence evaluated index = 65
條件：無
依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL residue=2,period=3;k(j)=2+3j for EVERY j>=0;displayed j=21,k_j=65
操作後
for ALL j,k(j+1)-k(j)=3>0;remainder always2;a_k(j)=23/2;for EVERY epsilon>0 error0<epsilon
條件：無
索引每次增加完整正週期，因此是無窮嚴格遞增子數列；每項相同給任意epsilon的零誤差。顯示j只作代值，不能用它代替全稱證明。定理只保某個收斂子數列，不強迫原列收斂或子極限唯一。
規則：bw_constant_subsequence_all_j_strict_index_and_convergence · 依賴：G001, S007
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bw ORIGINAL residue subsequence evaluated index，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bw period times ORIGINAL j，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(2, 21, 65, 23/2, 是, k_j_residue_plus_period_times_j_strictly_increasing_constant_subsequence)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 38d2f303f34c7133cfcdcf143fd67c0159d84ddf81ba338e9cf8aafbc2437fedcandidate record SHA-256: 4604dcb6849cf6992688f3860a2c089ba6694504ba6c1505a465b993502fbff2semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262aquestion-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ceLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED