第 408 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-coefficient；資料={"n":7,"k":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-coefficient；資料={"n":7,"k":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

0≤k≤n 的整數計數；C(n,k) 為選 k 個位置的子集數，補集雙射給出對稱性。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=7≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

choose 7 positions out of 7

C(7,7)=5040/(5040·1)=1

choose 0 positions out of 7

C(7,0)=5040/(1·5040)=1

choose subset of size 7

its complement has size 0

C(7,7)=1; C(7,0)=1

symmetric coefficients equal: 是

逐步反向核對

• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(7, 7, 1, 1, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。