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第 96 題：二項式定理

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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P250-0096 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0046

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。

逐步推導

S001 · implies

操作前

n=20≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^20 is a finite product of 20 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴

規則：finite_product · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

choose exactly 0 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,0)=2432902008176640000/(1·2432902008176640000)=1

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 20 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

C(20,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^20·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 20-0=20；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

choose exactly 1 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,1)=2432902008176640000/(1·121645100408832000)=20

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 19 個 x 位置各自的重排，得到係數 20。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

C(20,1)=20; choose y 1 times

操作後

20·x^19·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 20-1=19；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

choose exactly 2 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,2)=2432902008176640000/(2·6402373705728000)=190

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 18 個 x 位置各自的重排，得到係數 190。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

C(20,2)=190; choose y 2 times

操作後

190·x^18·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 20-2=18；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

choose exactly 3 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,3)=2432902008176640000/(6·355687428096000)=1140

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 17 個 x 位置各自的重排，得到係數 1140。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

C(20,3)=1140; choose y 3 times

操作後

1140·x^17·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 20-3=17；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

choose exactly 4 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,4)=2432902008176640000/(24·20922789888000)=4845

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 16 個 x 位置各自的重排，得到係數 4845。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

C(20,4)=4845; choose y 4 times

操作後

4845·x^16·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 20-4=16；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

choose exactly 5 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,5)=2432902008176640000/(120·1307674368000)=15504

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 15504。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

C(20,5)=15504; choose y 5 times

操作後

15504·x^15·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 20-5=15；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

choose exactly 6 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,6)=2432902008176640000/(720·87178291200)=38760

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 38760。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

C(20,6)=38760; choose y 6 times

操作後

38760·x^14·y^6

條件：無

相應的 x 次數為 20-6=14；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

choose exactly 7 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,7)=2432902008176640000/(5040·6227020800)=77520

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 77520。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

C(20,7)=77520; choose y 7 times

操作後

77520·x^13·y^7

條件：無

相應的 x 次數為 20-7=13；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

choose exactly 8 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,8)=2432902008176640000/(40320·479001600)=125970

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 125970。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

C(20,8)=125970; choose y 8 times

操作後

125970·x^12·y^8

條件：無

相應的 x 次數為 20-8=12；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

choose exactly 9 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,9)=2432902008176640000/(362880·39916800)=167960

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 167960。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

C(20,9)=167960; choose y 9 times

操作後

167960·x^11·y^9

條件：無

相應的 x 次數為 20-9=11；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

choose exactly 10 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,10)=2432902008176640000/(3628800·3628800)=184756

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 184756。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

C(20,10)=184756; choose y 10 times

操作後

184756·x^10·y^10

條件：無

相應的 x 次數為 20-10=10；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

choose exactly 11 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,11)=2432902008176640000/(39916800·362880)=167960

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 167960。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

C(20,11)=167960; choose y 11 times

操作後

167960·x^9·y^11

條件：無

相應的 x 次數為 20-11=9；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

choose exactly 12 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,12)=2432902008176640000/(479001600·40320)=125970

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 125970。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

C(20,12)=125970; choose y 12 times

操作後

125970·x^8·y^12

條件：無

相應的 x 次數為 20-12=8；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

choose exactly 13 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,13)=2432902008176640000/(6227020800·5040)=77520

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 77520。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

C(20,13)=77520; choose y 13 times

操作後

77520·x^7·y^13

條件：無

相應的 x 次數為 20-13=7；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

choose exactly 14 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,14)=2432902008176640000/(87178291200·720)=38760

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 38760。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

C(20,14)=38760; choose y 14 times

操作後

38760·x^6·y^14

條件：無

相應的 x 次數為 20-14=6；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

choose exactly 15 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,15)=2432902008176640000/(1307674368000·120)=15504

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 15504。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

C(20,15)=15504; choose y 15 times

操作後

15504·x^5·y^15

條件：無

相應的 x 次數為 20-15=5；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

choose exactly 16 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,16)=2432902008176640000/(20922789888000·24)=4845

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 16 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 4845。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

C(20,16)=4845; choose y 16 times

操作後

4845·x^4·y^16

條件：無

相應的 x 次數為 20-16=4；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

choose exactly 17 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,17)=2432902008176640000/(355687428096000·6)=1140

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 17 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 1140。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

C(20,17)=1140; choose y 17 times

操作後

1140·x^3·y^17

條件：無

相應的 x 次數為 20-17=3；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

choose exactly 18 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,18)=2432902008176640000/(6402373705728000·2)=190

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 18 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 190。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

C(20,18)=190; choose y 18 times

操作後

190·x^2·y^18

條件：無

相應的 x 次數為 20-18=2；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

choose exactly 19 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,19)=2432902008176640000/(121645100408832000·1)=20

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 19 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 20。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

C(20,19)=20; choose y 19 times

操作後

20·x^1·y^19

條件：無

相應的 x 次數為 20-19=1；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

choose exactly 20 of 20 factors to contribute y

操作後

C(20,20)=2432902008176640000/(2432902008176640000·1)=1

條件：無

先排列 20 個位置，再除掉 20 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴

規則：subset_count · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

C(20,20)=1; choose y 20 times

操作後

1·x^0·y^20

條件：無

相應的 x 次數為 20-20=0；指數相加仍為 20。

步驟識別與依賴

規則：group_like_terms · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

all k=0 through 20 have been accounted for

操作後

(x+y)^20=1·x^20·y^0 + 20·x^19·y^1 + 190·x^18·y^2 + 1140·x^17·y^3 + 4845·x^16·y^4 + 15504·x^15·y^5 + 38760·x^14·y^6 + 77520·x^13·y^7 + 125970·x^12·y^8 + 167960·x^11·y^9 + 184756·x^10·y^10 + 167960·x^9·y^11 + 125970·x^8·y^12 + 77520·x^7·y^13 + 38760·x^6·y^14 + 15504·x^5·y^15 + 4845·x^4·y^16 + 1140·x^3·y^17 + 190·x^2·y^18 + 20·x^1·y^19 + 1·x^0·y^20

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴

規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S043

逐步反向核對

  • S044 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
  • S043 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S042 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S041 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S040 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S039 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S038 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S037 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S036 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S035 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S034 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
  • S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
  • S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。

結論

(20, [[0, 1, 20, 0], [1, 20, 19, 1], [2, 190, 18, 2], [3, 1140, 17, 3], [4, 4845, 16, 4], [5, 15504, 15, 5], [6, 38760, 14, 6], [7, 77520, 13, 7], [8, 125970, 12, 8], [9, 167960, 11, 9], [10, 184756, 10, 10], [11, 167960, 9, 11], [12, 125970, 8, 12], [13, 77520, 7, 13], [14, 38760, 6, 14], [15, 15504, 5, 15], [16, 4845, 4, 16], [17, 1140, 3, 17], [18, 190, 2, 18], [19, 20, 1, 19], [20, 1, 0, 20]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e0aedc127c9cafb8e44db0fe7320d1c84a2dad136d25e45209eefe470e64a538
  • candidate record SHA-256: aaa73afe670f64de9f7accbd0b3d46b930e87628221b6f52633436f7658aa8f9
  • semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
  • question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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