第 430 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":4,"x":1,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":4,"x":1,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=4≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(1, -2)

x+y = -1

(x+y)^n: (-1)^4

(x+y)^n = 1

choose 0 positions out of 4

C(4,0)=24/(1·24)=1

x^4: (1)^4

x^4 = 1

y^0: (-2)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 1)

C·x power (k=0) = 1

term[0] := mul(1, 1)

term[0] = 1

choose 1 positions out of 4

C(4,1)=24/(1·6)=4

x^3: (1)^3

x^3 = 1

y^1: (-2)^1

y^1 = -2

C·x power (k=1) := mul(4, 1)

C·x power (k=1) = 4

term[1] := mul(4, -2)

term[1] = -8

choose 2 positions out of 4

C(4,2)=24/(2·2)=6

x^2: (1)^2

x^2 = 1

y^2: (-2)^2

y^2 = 4

C·x power (k=2) := mul(6, 1)

C·x power (k=2) = 6

term[2] := mul(6, 4)

term[2] = 24

choose 3 positions out of 4

C(4,3)=24/(6·1)=4

x^1: (1)^1

x^1 = 1

y^3: (-2)^3

y^3 = -8

C·x power (k=3) := mul(4, 1)

C·x power (k=3) = 4

term[3] := mul(4, -8)

term[3] = -32

choose 4 positions out of 4

C(4,4)=24/(24·1)=1

x^0: (1)^0

x^0 = 1

y^4: (-2)^4

y^4 = 16

C·x power (k=4) := mul(1, 1)

C·x power (k=4) = 1

term[4] := mul(1, 16)

term[4] = 16

expanded sum := sum(1, -8, 24, -32, 16)

expanded sum = 1

direct=1; expanded=1

identity holds: 是

逐步反向核對

• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(4, 1, -2, 1, 1, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。