第 431 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":5,"x":2,"y":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":5,"x":2,"y":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=5≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(2, 2)

x+y = 4

(x+y)^n: (4)^5

(x+y)^n = 1024

choose 0 positions out of 5

C(5,0)=120/(1·120)=1

x^5: (2)^5

x^5 = 32

y^0: (2)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 32)

C·x power (k=0) = 32

term[0] := mul(32, 1)

term[0] = 32

choose 1 positions out of 5

C(5,1)=120/(1·24)=5

x^4: (2)^4

x^4 = 16

y^1: (2)^1

y^1 = 2

C·x power (k=1) := mul(5, 16)

C·x power (k=1) = 80

term[1] := mul(80, 2)

term[1] = 160

choose 2 positions out of 5

C(5,2)=120/(2·6)=10

x^3: (2)^3

x^3 = 8

y^2: (2)^2

y^2 = 4

C·x power (k=2) := mul(10, 8)

C·x power (k=2) = 80

term[2] := mul(80, 4)

term[2] = 320

choose 3 positions out of 5

C(5,3)=120/(6·2)=10

x^2: (2)^2

x^2 = 4

y^3: (2)^3

y^3 = 8

C·x power (k=3) := mul(10, 4)

C·x power (k=3) = 40

term[3] := mul(40, 8)

term[3] = 320

choose 4 positions out of 5

C(5,4)=120/(24·1)=5

x^1: (2)^1

x^1 = 2

y^4: (2)^4

y^4 = 16

C·x power (k=4) := mul(5, 2)

C·x power (k=4) = 10

term[4] := mul(10, 16)

term[4] = 160

choose 5 positions out of 5

C(5,5)=120/(120·1)=1

x^0: (2)^0

x^0 = 1

y^5: (2)^5

y^5 = 32

C·x power (k=5) := mul(1, 1)

C·x power (k=5) = 1

term[5] := mul(1, 32)

term[5] = 32

expanded sum := sum(32, 160, 320, 320, 160, 32)

expanded sum = 1024

direct=1024; expanded=1024

identity holds: 是

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(5, 2, 2, 1024, 1024, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。