第 432 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":6,"x":3,"y":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":6,"x":3,"y":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=6≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(3, 1)

x+y = 4

(x+y)^n: (4)^6

(x+y)^n = 4096

choose 0 positions out of 6

C(6,0)=720/(1·720)=1

x^6: (3)^6

x^6 = 729

y^0: (1)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 729)

C·x power (k=0) = 729

term[0] := mul(729, 1)

term[0] = 729

choose 1 positions out of 6

C(6,1)=720/(1·120)=6

x^5: (3)^5

x^5 = 243

y^1: (1)^1

y^1 = 1

C·x power (k=1) := mul(6, 243)

C·x power (k=1) = 1458

term[1] := mul(1458, 1)

term[1] = 1458

choose 2 positions out of 6

C(6,2)=720/(2·24)=15

x^4: (3)^4

x^4 = 81

y^2: (1)^2

y^2 = 1

C·x power (k=2) := mul(15, 81)

C·x power (k=2) = 1215

term[2] := mul(1215, 1)

term[2] = 1215

choose 3 positions out of 6

C(6,3)=720/(6·6)=20

x^3: (3)^3

x^3 = 27

y^3: (1)^3

y^3 = 1

C·x power (k=3) := mul(20, 27)

C·x power (k=3) = 540

term[3] := mul(540, 1)

term[3] = 540

choose 4 positions out of 6

C(6,4)=720/(24·2)=15

x^2: (3)^2

x^2 = 9

y^4: (1)^4

y^4 = 1

C·x power (k=4) := mul(15, 9)

C·x power (k=4) = 135

term[4] := mul(135, 1)

term[4] = 135

choose 5 positions out of 6

C(6,5)=720/(120·1)=6

x^1: (3)^1

x^1 = 3

y^5: (1)^5

y^5 = 1

C·x power (k=5) := mul(6, 3)

C·x power (k=5) = 18

term[5] := mul(18, 1)

term[5] = 18

choose 6 positions out of 6

C(6,6)=720/(720·1)=1

x^0: (3)^0

x^0 = 1

y^6: (1)^6

y^6 = 1

C·x power (k=6) := mul(1, 1)

C·x power (k=6) = 1

term[6] := mul(1, 1)

term[6] = 1

expanded sum := sum(729, 1458, 1215, 540, 135, 18, 1)

expanded sum = 4096

direct=4096; expanded=4096

identity holds: 是

逐步反向核對

• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(6, 3, 1, 4096, 4096, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。