第 433 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":7,"x":-3,"y":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":7,"x":-3,"y":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=7≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(-3, 0)

x+y = -3

(x+y)^n: (-3)^7

(x+y)^n = -2187

choose 0 positions out of 7

C(7,0)=5040/(1·5040)=1

x^7: (-3)^7

x^7 = -2187

y^0: (0)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, -2187)

C·x power (k=0) = -2187

term[0] := mul(-2187, 1)

term[0] = -2187

choose 1 positions out of 7

C(7,1)=5040/(1·720)=7

x^6: (-3)^6

x^6 = 729

y^1: (0)^1

y^1 = 0

C·x power (k=1) := mul(7, 729)

C·x power (k=1) = 5103

term[1] := mul(5103, 0)

term[1] = 0

choose 2 positions out of 7

C(7,2)=5040/(2·120)=21

x^5: (-3)^5

x^5 = -243

y^2: (0)^2

y^2 = 0

C·x power (k=2) := mul(21, -243)

C·x power (k=2) = -5103

term[2] := mul(-5103, 0)

term[2] = 0

choose 3 positions out of 7

C(7,3)=5040/(6·24)=35

x^4: (-3)^4

x^4 = 81

y^3: (0)^3

y^3 = 0

C·x power (k=3) := mul(35, 81)

C·x power (k=3) = 2835

term[3] := mul(2835, 0)

term[3] = 0

choose 4 positions out of 7

C(7,4)=5040/(24·6)=35

x^3: (-3)^3

x^3 = -27

y^4: (0)^4

y^4 = 0

C·x power (k=4) := mul(35, -27)

C·x power (k=4) = -945

term[4] := mul(-945, 0)

term[4] = 0

choose 5 positions out of 7

C(7,5)=5040/(120·2)=21

x^2: (-3)^2

x^2 = 9

y^5: (0)^5

y^5 = 0

C·x power (k=5) := mul(21, 9)

C·x power (k=5) = 189

term[5] := mul(189, 0)

term[5] = 0

choose 6 positions out of 7

C(7,6)=5040/(720·1)=7

x^1: (-3)^1

x^1 = -3

y^6: (0)^6

y^6 = 0

C·x power (k=6) := mul(7, -3)

C·x power (k=6) = -21

term[6] := mul(-21, 0)

term[6] = 0

choose 7 positions out of 7

C(7,7)=5040/(5040·1)=1

x^0: (-3)^0

x^0 = 1

y^7: (0)^7

y^7 = 0

C·x power (k=7) := mul(1, 1)

C·x power (k=7) = 1

term[7] := mul(1, 0)

term[7] = 0

expanded sum := sum(-2187, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

expanded sum = -2187

direct=-2187; expanded=-2187

identity holds: 是

逐步反向核對

• S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(7, -3, 0, -2187, -2187, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。