第 437 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":11,"x":1,"y":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":11,"x":1,"y":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=11≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(1, 1)

x+y = 2

(x+y)^n: (2)^11

(x+y)^n = 2048

choose 0 positions out of 11

C(11,0)=39916800/(1·39916800)=1

x^11: (1)^11

x^11 = 1

y^0: (1)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 1)

C·x power (k=0) = 1

term[0] := mul(1, 1)

term[0] = 1

choose 1 positions out of 11

C(11,1)=39916800/(1·3628800)=11

x^10: (1)^10

x^10 = 1

y^1: (1)^1

y^1 = 1

C·x power (k=1) := mul(11, 1)

C·x power (k=1) = 11

term[1] := mul(11, 1)

term[1] = 11

choose 2 positions out of 11

C(11,2)=39916800/(2·362880)=55

x^9: (1)^9

x^9 = 1

y^2: (1)^2

y^2 = 1

C·x power (k=2) := mul(55, 1)

C·x power (k=2) = 55

term[2] := mul(55, 1)

term[2] = 55

choose 3 positions out of 11

C(11,3)=39916800/(6·40320)=165

x^8: (1)^8

x^8 = 1

y^3: (1)^3

y^3 = 1

C·x power (k=3) := mul(165, 1)

C·x power (k=3) = 165

term[3] := mul(165, 1)

term[3] = 165

choose 4 positions out of 11

C(11,4)=39916800/(24·5040)=330

x^7: (1)^7

x^7 = 1

y^4: (1)^4

y^4 = 1

C·x power (k=4) := mul(330, 1)

C·x power (k=4) = 330

term[4] := mul(330, 1)

term[4] = 330

choose 5 positions out of 11

C(11,5)=39916800/(120·720)=462

x^6: (1)^6

x^6 = 1

y^5: (1)^5

y^5 = 1

C·x power (k=5) := mul(462, 1)

C·x power (k=5) = 462

term[5] := mul(462, 1)

term[5] = 462

choose 6 positions out of 11

C(11,6)=39916800/(720·120)=462

x^5: (1)^5

x^5 = 1

y^6: (1)^6

y^6 = 1

C·x power (k=6) := mul(462, 1)

C·x power (k=6) = 462

term[6] := mul(462, 1)

term[6] = 462

choose 7 positions out of 11

C(11,7)=39916800/(5040·24)=330

x^4: (1)^4

x^4 = 1

y^7: (1)^7

y^7 = 1

C·x power (k=7) := mul(330, 1)

C·x power (k=7) = 330

term[7] := mul(330, 1)

term[7] = 330

choose 8 positions out of 11

C(11,8)=39916800/(40320·6)=165

x^3: (1)^3

x^3 = 1

y^8: (1)^8

y^8 = 1

C·x power (k=8) := mul(165, 1)

C·x power (k=8) = 165

term[8] := mul(165, 1)

term[8] = 165

choose 9 positions out of 11

C(11,9)=39916800/(362880·2)=55

x^2: (1)^2

x^2 = 1

y^9: (1)^9

y^9 = 1

C·x power (k=9) := mul(55, 1)

C·x power (k=9) = 55

term[9] := mul(55, 1)

term[9] = 55

choose 10 positions out of 11

C(11,10)=39916800/(3628800·1)=11

x^1: (1)^1

x^1 = 1

y^10: (1)^10

y^10 = 1

C·x power (k=10) := mul(11, 1)

C·x power (k=10) = 11

term[10] := mul(11, 1)

term[10] = 11

choose 11 positions out of 11

C(11,11)=39916800/(39916800·1)=1

x^0: (1)^0

x^0 = 1

y^11: (1)^11

y^11 = 1

C·x power (k=11) := mul(1, 1)

C·x power (k=11) = 1

term[11] := mul(1, 1)

term[11] = 1

expanded sum := sum(1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1)

expanded sum = 2048

direct=2048; expanded=2048

identity holds: 是

逐步反向核對

• S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(11, 1, 1, 2048, 2048, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。