第 438 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":12,"x":2,"y":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":12,"x":2,"y":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=12≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(2, 0)

x+y = 2

(x+y)^n: (2)^12

(x+y)^n = 4096

choose 0 positions out of 12

C(12,0)=479001600/(1·479001600)=1

x^12: (2)^12

x^12 = 4096

y^0: (0)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 4096)

C·x power (k=0) = 4096

term[0] := mul(4096, 1)

term[0] = 4096

choose 1 positions out of 12

C(12,1)=479001600/(1·39916800)=12

x^11: (2)^11

x^11 = 2048

y^1: (0)^1

y^1 = 0

C·x power (k=1) := mul(12, 2048)

C·x power (k=1) = 24576

term[1] := mul(24576, 0)

term[1] = 0

choose 2 positions out of 12

C(12,2)=479001600/(2·3628800)=66

x^10: (2)^10

x^10 = 1024

y^2: (0)^2

y^2 = 0

C·x power (k=2) := mul(66, 1024)

C·x power (k=2) = 67584

term[2] := mul(67584, 0)

term[2] = 0

choose 3 positions out of 12

C(12,3)=479001600/(6·362880)=220

x^9: (2)^9

x^9 = 512

y^3: (0)^3

y^3 = 0

C·x power (k=3) := mul(220, 512)

C·x power (k=3) = 112640

term[3] := mul(112640, 0)

term[3] = 0

choose 4 positions out of 12

C(12,4)=479001600/(24·40320)=495

x^8: (2)^8

x^8 = 256

y^4: (0)^4

y^4 = 0

C·x power (k=4) := mul(495, 256)

C·x power (k=4) = 126720

term[4] := mul(126720, 0)

term[4] = 0

choose 5 positions out of 12

C(12,5)=479001600/(120·5040)=792

x^7: (2)^7

x^7 = 128

y^5: (0)^5

y^5 = 0

C·x power (k=5) := mul(792, 128)

C·x power (k=5) = 101376

term[5] := mul(101376, 0)

term[5] = 0

choose 6 positions out of 12

C(12,6)=479001600/(720·720)=924

x^6: (2)^6

x^6 = 64

y^6: (0)^6

y^6 = 0

C·x power (k=6) := mul(924, 64)

C·x power (k=6) = 59136

term[6] := mul(59136, 0)

term[6] = 0

choose 7 positions out of 12

C(12,7)=479001600/(5040·120)=792

x^5: (2)^5

x^5 = 32

y^7: (0)^7

y^7 = 0

C·x power (k=7) := mul(792, 32)

C·x power (k=7) = 25344

term[7] := mul(25344, 0)

term[7] = 0

choose 8 positions out of 12

C(12,8)=479001600/(40320·24)=495

x^4: (2)^4

x^4 = 16

y^8: (0)^8

y^8 = 0

C·x power (k=8) := mul(495, 16)

C·x power (k=8) = 7920

term[8] := mul(7920, 0)

term[8] = 0

choose 9 positions out of 12

C(12,9)=479001600/(362880·6)=220

x^3: (2)^3

x^3 = 8

y^9: (0)^9

y^9 = 0

C·x power (k=9) := mul(220, 8)

C·x power (k=9) = 1760

term[9] := mul(1760, 0)

term[9] = 0

choose 10 positions out of 12

C(12,10)=479001600/(3628800·2)=66

x^2: (2)^2

x^2 = 4

y^10: (0)^10

y^10 = 0

C·x power (k=10) := mul(66, 4)

C·x power (k=10) = 264

term[10] := mul(264, 0)

term[10] = 0

choose 11 positions out of 12

C(12,11)=479001600/(39916800·1)=12

x^1: (2)^1

x^1 = 2

y^11: (0)^11

y^11 = 0

C·x power (k=11) := mul(12, 2)

C·x power (k=11) = 24

term[11] := mul(24, 0)

term[11] = 0

choose 12 positions out of 12

C(12,12)=479001600/(479001600·1)=1

x^0: (2)^0

x^0 = 1

y^12: (0)^12

y^12 = 0

C·x power (k=12) := mul(1, 1)

C·x power (k=12) = 1

term[12] := mul(1, 0)

term[12] = 0

expanded sum := sum(4096, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

expanded sum = 4096

direct=4096; expanded=4096

identity holds: 是

逐步反向核對

• S070 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[12]，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=12)，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S064 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(12, 2, 0, 4096, 4096, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。