第 439 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":13,"x":3,"y":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":13,"x":3,"y":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=13≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(3, -1)

x+y = 2

(x+y)^n: (2)^13

(x+y)^n = 8192

choose 0 positions out of 13

C(13,0)=6227020800/(1·6227020800)=1

x^13: (3)^13

x^13 = 1594323

y^0: (-1)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 1594323)

C·x power (k=0) = 1594323

term[0] := mul(1594323, 1)

term[0] = 1594323

choose 1 positions out of 13

C(13,1)=6227020800/(1·479001600)=13

x^12: (3)^12

x^12 = 531441

y^1: (-1)^1

y^1 = -1

C·x power (k=1) := mul(13, 531441)

C·x power (k=1) = 6908733

term[1] := mul(6908733, -1)

term[1] = -6908733

choose 2 positions out of 13

C(13,2)=6227020800/(2·39916800)=78

x^11: (3)^11

x^11 = 177147

y^2: (-1)^2

y^2 = 1

C·x power (k=2) := mul(78, 177147)

C·x power (k=2) = 13817466

term[2] := mul(13817466, 1)

term[2] = 13817466

choose 3 positions out of 13

C(13,3)=6227020800/(6·3628800)=286

x^10: (3)^10

x^10 = 59049

y^3: (-1)^3

y^3 = -1

C·x power (k=3) := mul(286, 59049)

C·x power (k=3) = 16888014

term[3] := mul(16888014, -1)

term[3] = -16888014

choose 4 positions out of 13

C(13,4)=6227020800/(24·362880)=715

x^9: (3)^9

x^9 = 19683

y^4: (-1)^4

y^4 = 1

C·x power (k=4) := mul(715, 19683)

C·x power (k=4) = 14073345

term[4] := mul(14073345, 1)

term[4] = 14073345

choose 5 positions out of 13

C(13,5)=6227020800/(120·40320)=1287

x^8: (3)^8

x^8 = 6561

y^5: (-1)^5

y^5 = -1

C·x power (k=5) := mul(1287, 6561)

C·x power (k=5) = 8444007

term[5] := mul(8444007, -1)

term[5] = -8444007

choose 6 positions out of 13

C(13,6)=6227020800/(720·5040)=1716

x^7: (3)^7

x^7 = 2187

y^6: (-1)^6

y^6 = 1

C·x power (k=6) := mul(1716, 2187)

C·x power (k=6) = 3752892

term[6] := mul(3752892, 1)

term[6] = 3752892

choose 7 positions out of 13

C(13,7)=6227020800/(5040·720)=1716

x^6: (3)^6

x^6 = 729

y^7: (-1)^7

y^7 = -1

C·x power (k=7) := mul(1716, 729)

C·x power (k=7) = 1250964

term[7] := mul(1250964, -1)

term[7] = -1250964

choose 8 positions out of 13

C(13,8)=6227020800/(40320·120)=1287

x^5: (3)^5

x^5 = 243

y^8: (-1)^8

y^8 = 1

C·x power (k=8) := mul(1287, 243)

C·x power (k=8) = 312741

term[8] := mul(312741, 1)

term[8] = 312741

choose 9 positions out of 13

C(13,9)=6227020800/(362880·24)=715

x^4: (3)^4

x^4 = 81

y^9: (-1)^9

y^9 = -1

C·x power (k=9) := mul(715, 81)

C·x power (k=9) = 57915

term[9] := mul(57915, -1)

term[9] = -57915

choose 10 positions out of 13

C(13,10)=6227020800/(3628800·6)=286

x^3: (3)^3

x^3 = 27

y^10: (-1)^10

y^10 = 1

C·x power (k=10) := mul(286, 27)

C·x power (k=10) = 7722

term[10] := mul(7722, 1)

term[10] = 7722

choose 11 positions out of 13

C(13,11)=6227020800/(39916800·2)=78

x^2: (3)^2

x^2 = 9

y^11: (-1)^11

y^11 = -1

C·x power (k=11) := mul(78, 9)

C·x power (k=11) = 702

term[11] := mul(702, -1)

term[11] = -702

choose 12 positions out of 13

C(13,12)=6227020800/(479001600·1)=13

x^1: (3)^1

x^1 = 3

y^12: (-1)^12

y^12 = 1

C·x power (k=12) := mul(13, 3)

C·x power (k=12) = 39

term[12] := mul(39, 1)

term[12] = 39

choose 13 positions out of 13

C(13,13)=6227020800/(6227020800·1)=1

x^0: (3)^0

x^0 = 1

y^13: (-1)^13

y^13 = -1

C·x power (k=13) := mul(1, 1)

C·x power (k=13) = 1

term[13] := mul(1, -1)

term[13] = -1

expanded sum := sum(1594323, -6908733, 13817466, -16888014, 14073345, -8444007, 3752892, -1250964, 312741, -57915, 7722, -702, 39, -1)

expanded sum = 8192

direct=8192; expanded=8192

identity holds: 是

逐步反向核對

• S075 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[13]，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=13)，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S070 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S069 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[12]，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=12)，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S064 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(13, 3, -1, 8192, 8192, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。