第 446 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":20,"x":3,"y":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":20,"x":3,"y":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=20≥0; multiplication commutes

group the finite product by the number of y choices

x+y := sum(3, 2)

x+y = 5

(x+y)^n: (5)^20

(x+y)^n = 95367431640625

choose 0 positions out of 20

C(20,0)=2432902008176640000/(1·2432902008176640000)=1

x^20: (3)^20

x^20 = 3486784401

y^0: (2)^0

y^0 = 1

C·x power (k=0) := mul(1, 3486784401)

C·x power (k=0) = 3486784401

term[0] := mul(3486784401, 1)

term[0] = 3486784401

choose 1 positions out of 20

C(20,1)=2432902008176640000/(1·121645100408832000)=20

x^19: (3)^19

x^19 = 1162261467

y^1: (2)^1

y^1 = 2

C·x power (k=1) := mul(20, 1162261467)

C·x power (k=1) = 23245229340

term[1] := mul(23245229340, 2)

term[1] = 46490458680

choose 2 positions out of 20

C(20,2)=2432902008176640000/(2·6402373705728000)=190

x^18: (3)^18

x^18 = 387420489

y^2: (2)^2

y^2 = 4

C·x power (k=2) := mul(190, 387420489)

C·x power (k=2) = 73609892910

term[2] := mul(73609892910, 4)

term[2] = 294439571640

choose 3 positions out of 20

C(20,3)=2432902008176640000/(6·355687428096000)=1140

x^17: (3)^17

x^17 = 129140163

y^3: (2)^3

y^3 = 8

C·x power (k=3) := mul(1140, 129140163)

C·x power (k=3) = 147219785820

term[3] := mul(147219785820, 8)

term[3] = 1177758286560

choose 4 positions out of 20

C(20,4)=2432902008176640000/(24·20922789888000)=4845

x^16: (3)^16

x^16 = 43046721

y^4: (2)^4

y^4 = 16

C·x power (k=4) := mul(4845, 43046721)

C·x power (k=4) = 208561363245

term[4] := mul(208561363245, 16)

term[4] = 3336981811920

choose 5 positions out of 20

C(20,5)=2432902008176640000/(120·1307674368000)=15504

x^15: (3)^15

x^15 = 14348907

y^5: (2)^5

y^5 = 32

C·x power (k=5) := mul(15504, 14348907)

C·x power (k=5) = 222465454128

term[5] := mul(222465454128, 32)

term[5] = 7118894532096

choose 6 positions out of 20

C(20,6)=2432902008176640000/(720·87178291200)=38760

x^14: (3)^14

x^14 = 4782969

y^6: (2)^6

y^6 = 64

C·x power (k=6) := mul(38760, 4782969)

C·x power (k=6) = 185387878440

term[6] := mul(185387878440, 64)

term[6] = 11864824220160

choose 7 positions out of 20

C(20,7)=2432902008176640000/(5040·6227020800)=77520

x^13: (3)^13

x^13 = 1594323

y^7: (2)^7

y^7 = 128

C·x power (k=7) := mul(77520, 1594323)

C·x power (k=7) = 123591918960

term[7] := mul(123591918960, 128)

term[7] = 15819765626880

choose 8 positions out of 20

C(20,8)=2432902008176640000/(40320·479001600)=125970

x^12: (3)^12

x^12 = 531441

y^8: (2)^8

y^8 = 256

C·x power (k=8) := mul(125970, 531441)

C·x power (k=8) = 66945622770

term[8] := mul(66945622770, 256)

term[8] = 17138079429120

choose 9 positions out of 20

C(20,9)=2432902008176640000/(362880·39916800)=167960

x^11: (3)^11

x^11 = 177147

y^9: (2)^9

y^9 = 512

C·x power (k=9) := mul(167960, 177147)

C·x power (k=9) = 29753610120

term[9] := mul(29753610120, 512)

term[9] = 15233848381440

choose 10 positions out of 20

C(20,10)=2432902008176640000/(3628800·3628800)=184756

x^10: (3)^10

x^10 = 59049

y^10: (2)^10

y^10 = 1024

C·x power (k=10) := mul(184756, 59049)

C·x power (k=10) = 10909657044

term[10] := mul(10909657044, 1024)

term[10] = 11171488813056

choose 11 positions out of 20

C(20,11)=2432902008176640000/(39916800·362880)=167960

x^9: (3)^9

x^9 = 19683

y^11: (2)^11

y^11 = 2048

C·x power (k=11) := mul(167960, 19683)

C·x power (k=11) = 3305956680

term[11] := mul(3305956680, 2048)

term[11] = 6770599280640

choose 12 positions out of 20

C(20,12)=2432902008176640000/(479001600·40320)=125970

x^8: (3)^8

x^8 = 6561

y^12: (2)^12

y^12 = 4096

C·x power (k=12) := mul(125970, 6561)

C·x power (k=12) = 826489170

term[12] := mul(826489170, 4096)

term[12] = 3385299640320

choose 13 positions out of 20

C(20,13)=2432902008176640000/(6227020800·5040)=77520

x^7: (3)^7

x^7 = 2187

y^13: (2)^13

y^13 = 8192

C·x power (k=13) := mul(77520, 2187)

C·x power (k=13) = 169536240

term[13] := mul(169536240, 8192)

term[13] = 1388840878080

choose 14 positions out of 20

C(20,14)=2432902008176640000/(87178291200·720)=38760

x^6: (3)^6

x^6 = 729

y^14: (2)^14

y^14 = 16384

C·x power (k=14) := mul(38760, 729)

C·x power (k=14) = 28256040

term[14] := mul(28256040, 16384)

term[14] = 462946959360

choose 15 positions out of 20

C(20,15)=2432902008176640000/(1307674368000·120)=15504

x^5: (3)^5

x^5 = 243

y^15: (2)^15

y^15 = 32768

C·x power (k=15) := mul(15504, 243)

C·x power (k=15) = 3767472

term[15] := mul(3767472, 32768)

term[15] = 123452522496

choose 16 positions out of 20

C(20,16)=2432902008176640000/(20922789888000·24)=4845

x^4: (3)^4

x^4 = 81

y^16: (2)^16

y^16 = 65536

C·x power (k=16) := mul(4845, 81)

C·x power (k=16) = 392445

term[16] := mul(392445, 65536)

term[16] = 25719275520

choose 17 positions out of 20

C(20,17)=2432902008176640000/(355687428096000·6)=1140

x^3: (3)^3

x^3 = 27

y^17: (2)^17

y^17 = 131072

C·x power (k=17) := mul(1140, 27)

C·x power (k=17) = 30780

term[17] := mul(30780, 131072)

term[17] = 4034396160

choose 18 positions out of 20

C(20,18)=2432902008176640000/(6402373705728000·2)=190

x^2: (3)^2

x^2 = 9

y^18: (2)^18

y^18 = 262144

C·x power (k=18) := mul(190, 9)

C·x power (k=18) = 1710

term[18] := mul(1710, 262144)

term[18] = 448266240

choose 19 positions out of 20

C(20,19)=2432902008176640000/(121645100408832000·1)=20

x^1: (3)^1

x^1 = 3

y^19: (2)^19

y^19 = 524288

C·x power (k=19) := mul(20, 3)

C·x power (k=19) = 60

term[19] := mul(60, 524288)

term[19] = 31457280

choose 20 positions out of 20

C(20,20)=2432902008176640000/(2432902008176640000·1)=1

x^0: (3)^0

x^0 = 1

y^20: (2)^20

y^20 = 1048576

C·x power (k=20) := mul(1, 1)

C·x power (k=20) = 1

term[20] := mul(1, 1048576)

term[20] = 1048576

expanded sum := sum(3486784401, 46490458680, 294439571640, 1177758286560, 3336981811920, 7118894532096, 11864824220160, 15819765626880, 17138079429120, 15233848381440, 11171488813056, 6770599280640, 3385299640320, 1388840878080, 462946959360, 123452522496, 25719275520, 4034396160, 448266240, 31457280, 1048576)

expanded sum = 95367431640625

direct=95367431640625; expanded=95367431640625

identity holds: 是

逐步反向核對

• S110 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[20]，不以小數近似替代。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=20)，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S105 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S104 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[19]，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=19)，不以小數近似替代。
• S101 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S100 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S099 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[18]，不以小數近似替代。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=18)，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S095 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S094 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[17]，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=17)，不以小數近似替代。
• S091 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S090 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S089 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[16]，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=16)，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S085 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S084 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[15]，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=15)，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S080 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S079 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[14]，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=14)，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S075 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S074 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[13]，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=13)，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S070 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S069 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[12]，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=12)，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S064 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(20, 3, 2, 95367431640625, 95367431640625, 是)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。