第 469 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-exponent-boundary；資料={"exponent":-19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-exponent-boundary；資料={"exponent":-19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

有限二項展開只適用於非負整數指數；本題只否定該有限多項式主張，不否定其他級數。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

exponent=-19

finite polynomial formula requires a nonnegative integer n

exponent=-19

not a permitted finite-product exponent

finite product with n factors

cannot enumerate a negative/noninteger number of factors

this finite theorem is inapplicable

no claim about a different generalized binomial series

逐步反向核對

• S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S002 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。
• S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。

結論

(-19, 否, finite_binomial_polynomial_requires_natural_zero_exponent_and_commutative_multiplication)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。