第 22789 題：Catalan數

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0044-22789 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0014

原題與已知條件

C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-catalan-numbers

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=catalan-recurrence-generation;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[n, prefix, C_n, index_convention]

條件：無

保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL requested natural index n=13

操作後

initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits

條件：無

空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。

步驟識別與依賴

規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_1 := sum(1)

操作後

Catalan complete convolution for C_1 = 1

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]]

操作後

C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1)

操作後

Catalan complete convolution for C_2 = 2

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

操作後

C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2)

操作後

Catalan complete convolution for C_3 = 5

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]]

操作後

C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_4 := sum(5, 2, 2, 5)

操作後

Catalan complete convolution for C_4 = 14

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ORIGINAL index j=3;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 5, 5], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2], [3, 5, 1, 5]]

操作後

C_4=14;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_5 := sum(14, 5, 4, 5, 14)

操作後

Catalan complete convolution for C_5 = 42

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL index j=4;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 14, 14], [1, 1, 5, 5], [2, 2, 2, 4], [3, 5, 1, 5], [4, 14, 1, 14]]

操作後

C_5=42;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_6 := sum(42, 14, 10, 10, 14, 42)

操作後

Catalan complete convolution for C_6 = 132

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ORIGINAL index j=5;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 42, 42], [1, 1, 14, 14], [2, 2, 5, 10], [3, 5, 2, 10], [4, 14, 1, 14], [5, 42, 1, 42]]

操作後

C_6=132;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_7 := sum(132, 42, 28, 25, 28, 42, 132)

操作後

Catalan complete convolution for C_7 = 429

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ORIGINAL index j=6;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 132, 132], [1, 1, 42, 42], [2, 2, 14, 28], [3, 5, 5, 25], [4, 14, 2, 28], [5, 42, 1, 42], [6, 132, 1, 132]]

操作後

C_7=429;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_8 := sum(429, 132, 84, 70, 70, 84, 132, 429)

操作後

Catalan complete convolution for C_8 = 1430

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ORIGINAL index j=7;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 429, 429], [1, 1, 132, 132], [2, 2, 42, 84], [3, 5, 14, 70], [4, 14, 5, 70], [5, 42, 2, 84], [6, 132, 1, 132], [7, 429, 1, 429]]

操作後

C_8=1430;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_9 := sum(1430, 429, 264, 210, 196, 210, 264, 429, 1430)

操作後

Catalan complete convolution for C_9 = 4862

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL index j=8;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1430, 1430], [1, 1, 429, 429], [2, 2, 132, 264], [3, 5, 42, 210], [4, 14, 14, 196], [5, 42, 5, 210], [6, 132, 2, 264], [7, 429, 1, 429], [8, 1430, 1, 1430]]

操作後

C_9=4862;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_10 := sum(4862, 1430, 858, 660, 588, 588, 660, 858, 1430, 4862)

操作後

Catalan complete convolution for C_10 = 16796

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

ORIGINAL index j=9;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 4862, 4862], [1, 1, 1430, 1430], [2, 2, 429, 858], [3, 5, 132, 660], [4, 14, 42, 588], [5, 42, 14, 588], [6, 132, 5, 660], [7, 429, 2, 858], [8, 1430, 1, 1430], [9, 4862, 1, 4862]]

操作後

C_10=16796;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_11 := sum(16796, 4862, 2860, 2145, 1848, 1764, 1848, 2145, 2860, 4862, 16796)

操作後

Catalan complete convolution for C_11 = 58786

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL index j=10;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 16796, 16796], [1, 1, 4862, 4862], [2, 2, 1430, 2860], [3, 5, 429, 2145], [4, 14, 132, 1848], [5, 42, 42, 1764], [6, 132, 14, 1848], [7, 429, 5, 2145], [8, 1430, 2, 2860], [9, 4862, 1, 4862], [10, 16796, 1, 16796]]

操作後

C_11=58786;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_12 := sum(58786, 16796, 9724, 7150, 6006, 5544, 5544, 6006, 7150, 9724, 16796, 58786)

操作後

Catalan complete convolution for C_12 = 208012

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

ORIGINAL index j=11;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 58786, 58786], [1, 1, 16796, 16796], [2, 2, 4862, 9724], [3, 5, 1430, 7150], [4, 14, 429, 6006], [5, 42, 132, 5544], [6, 132, 42, 5544], [7, 429, 14, 6006], [8, 1430, 5, 7150], [9, 4862, 2, 9724], [10, 16796, 1, 16796], [11, 58786, 1, 58786]]

操作後

C_12=208012;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_13 := sum(208012, 58786, 33592, 24310, 20020, 18018, 17424, 18018, 20020, 24310, 33592, 58786, 208012)

操作後

Catalan complete convolution for C_13 = 742900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

ORIGINAL index j=12;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 208012, 208012], [1, 1, 58786, 58786], [2, 2, 16796, 33592], [3, 5, 4862, 24310], [4, 14, 1430, 20020], [5, 42, 429, 18018], [6, 132, 132, 17424], [7, 429, 42, 18018], [8, 1430, 14, 20020], [9, 4862, 5, 24310], [10, 16796, 2, 33592], [11, 58786, 1, 58786], [12, 208012, 1, 208012]]

操作後

C_13=742900;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

Catalan central:ORIGINAL binomial N=26,K=13

操作後

use k=min(K,N-K)=13;initialize exact product1;empty product for k0 is1

條件：無

以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。

步驟識別與依賴

規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 14)

操作後

Catalan central binomial product at i=1 = 14

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=1 := div(14, 1)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=1 = 14

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=2 := mul(14, 15)

操作後

Catalan central binomial product at i=2 = 210

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=2 := div(210, 2)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=2 = 105

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=3 := mul(105, 16)

操作後

Catalan central binomial product at i=3 = 1680

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=3 := div(1680, 3)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=3 = 560

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=4 := mul(560, 17)

操作後

Catalan central binomial product at i=4 = 9520

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=4 := div(9520, 4)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=4 = 2380

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=5 := mul(2380, 18)

操作後

Catalan central binomial product at i=5 = 42840

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=5 := div(42840, 5)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=5 = 8568

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=6 := mul(8568, 19)

操作後

Catalan central binomial product at i=6 = 162792

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=6 := div(162792, 6)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=6 = 27132

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=7 := mul(27132, 20)

操作後

Catalan central binomial product at i=7 = 542640

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=7 := div(542640, 7)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=7 = 77520

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=8 := mul(77520, 21)

操作後

Catalan central binomial product at i=8 = 1627920

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=8 := div(1627920, 8)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=8 = 203490

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=9 := mul(203490, 22)

操作後

Catalan central binomial product at i=9 = 4476780

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=9 := div(4476780, 9)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=9 = 497420

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=10 := mul(497420, 23)

操作後

Catalan central binomial product at i=10 = 11440660

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=10 := div(11440660, 10)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=10 = 1144066

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=11 := mul(1144066, 24)

操作後

Catalan central binomial product at i=11 = 27457584

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049

S051 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=11 := div(27457584, 11)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=11 = 2496144

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050

S052 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=12 := mul(2496144, 25)

操作後

Catalan central binomial product at i=12 = 62403600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051

S053 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=12 := div(62403600, 12)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=12 = 5200300

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052

S054 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=13 := mul(5200300, 26)

操作後

Catalan central binomial product at i=13 = 135207800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=13 := div(135207800, 13)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=13 = 10400600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(13, 1)

操作後

Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 14

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

ORIGINAL n=13;central binomial=10400600;positive denominator n+1=14

操作後

Euclidean quotient=742900,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer

條件：無

先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。

步驟識別與依賴

規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S056

S058 · calculation

操作前

Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(10400600, 14)

操作後

Catalan exact closed quotient after remainder0 = 742900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=26,K=14

操作後

use k=min(K,N-K)=12;initialize exact product1;empty product for k0 is1

條件：無

以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。

步驟識別與依賴

規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 15)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=1 = 15

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(15, 1)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 15

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(15, 16)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=2 = 240

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(240, 2)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 120

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=3 := mul(120, 17)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=3 = 2040

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=3 := div(2040, 3)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=3 = 680

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=4 := mul(680, 18)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=4 = 12240

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=4 := div(12240, 4)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=4 = 3060

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=5 := mul(3060, 19)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=5 = 58140

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=5 := div(58140, 5)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=5 = 11628

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=6 := mul(11628, 20)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=6 = 232560

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069

S071 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=6 := div(232560, 6)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=6 = 38760

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=7 := mul(38760, 21)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=7 = 813960

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=7 := div(813960, 7)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=7 = 116280

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=8 := mul(116280, 22)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=8 = 2558160

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=8 := div(2558160, 8)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=8 = 319770

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=9 := mul(319770, 23)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=9 = 7354710

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=9 := div(7354710, 9)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=9 = 817190

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=10 := mul(817190, 24)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=10 = 19612560

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=10 := div(19612560, 10)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=10 = 1961256

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=11 := mul(1961256, 25)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=11 = 49031400

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=11 := div(49031400, 11)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=11 = 4457400

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080

S082 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=12 := mul(4457400, 26)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=12 = 115892400

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081

S083 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=12 := div(115892400, 12)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=12 = 9657700

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082

S084 · calculation

操作前

Catalan central minus adjacent binomial := sub(10400600, 9657700)

操作後

Catalan central minus adjacent binomial = 742900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

ORIGINAL n=13;recurrence value=742900;central=10400600,adjacent=9657700,denominator=14

操作後

closed quotient=742900;binomial difference=742900;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1)

條件：無

Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。

步驟識別與依賴

規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S084

逐步反向核對

S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。
S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。
S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=12，不以小數近似替代。
S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。
S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=11，不以小數近似替代。
S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。
S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=10，不以小數近似替代。
S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。
S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=9，不以小數近似替代。
S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。
S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=8，不以小數近似替代。
S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。
S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=7，不以小數近似替代。
S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。
S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=6，不以小數近似替代。
S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。
S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=5，不以小數近似替代。
S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。
S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=4，不以小數近似替代。
S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。
S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=3，不以小數近似替代。
S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。
S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。
S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。
S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。
S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。
S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。
S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=13，不以小數近似替代。
S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=13，不以小數近似替代。
S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。
S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=12，不以小數近似替代。
S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。
S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=11，不以小數近似替代。
S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。
S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=10，不以小數近似替代。
S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。
S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=9，不以小數近似替代。
S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。
S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=8，不以小數近似替代。
S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。
S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=7，不以小數近似替代。
S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。
S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=6，不以小數近似替代。
S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。
S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=5，不以小數近似替代。
S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。
S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=4，不以小數近似替代。
S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。
S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。
S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。
S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。
S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。
S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。
S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_13，不以小數近似替代。
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_12，不以小數近似替代。
S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_11，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_10，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_9，不以小數近似替代。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_8，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_7，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_6，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_5，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_4，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(13, [1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900], 742900, C_next_sum_i_zero_to_n_minus_one)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: e50277e95881ce03349a4be037fbd2220b54fe21e241d1b37d0815813acef3de
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