R0044-22708 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0033
C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-closed-form；資料={"n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-closed-form；資料={"n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=catalan-closed-form;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[n, central_binomial, denominator, remainder, quotient, binomial_difference, equal]
條件：無
保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
ORIGINAL requested natural index n=7
操作後
initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits
條件：無
空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。
規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001
操作前
Catalan complete convolution for C_1 := sum(1)
操作後
Catalan complete convolution for C_1 = 1
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]]
操作後
C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003
操作前
Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1)
操作後
Catalan complete convolution for C_2 = 2
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
操作後
C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005
操作前
Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2)
操作後
Catalan complete convolution for C_3 = 5
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]]
操作後
C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007
操作前
Catalan complete convolution for C_4 := sum(5, 2, 2, 5)
操作後
Catalan complete convolution for C_4 = 14
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
ORIGINAL index j=3;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 5, 5], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2], [3, 5, 1, 5]]
操作後
C_4=14;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S009
操作前
Catalan complete convolution for C_5 := sum(14, 5, 4, 5, 14)
操作後
Catalan complete convolution for C_5 = 42
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
ORIGINAL index j=4;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 14, 14], [1, 1, 5, 5], [2, 2, 2, 4], [3, 5, 1, 5], [4, 14, 1, 14]]
操作後
C_5=42;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S011
操作前
Catalan complete convolution for C_6 := sum(42, 14, 10, 10, 14, 42)
操作後
Catalan complete convolution for C_6 = 132
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
ORIGINAL index j=5;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 42, 42], [1, 1, 14, 14], [2, 2, 5, 10], [3, 5, 2, 10], [4, 14, 1, 14], [5, 42, 1, 42]]
操作後
C_6=132;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S013
操作前
Catalan complete convolution for C_7 := sum(132, 42, 28, 25, 28, 42, 132)
操作後
Catalan complete convolution for C_7 = 429
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
ORIGINAL index j=6;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 132, 132], [1, 1, 42, 42], [2, 2, 14, 28], [3, 5, 5, 25], [4, 14, 2, 28], [5, 42, 1, 42], [6, 132, 1, 132]]
操作後
C_7=429;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132]
條件：無
逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。
規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S015
操作前
Catalan central:ORIGINAL binomial N=14,K=7
操作後
use k=min(K,N-K)=7;initialize exact product1;empty product for k0 is1
條件：無
以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。
規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S016
操作前
Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 8)
操作後
Catalan central binomial product at i=1 = 8
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Catalan central exact binomial division by i=1 := div(8, 1)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=1 = 8
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
Catalan central binomial product at i=2 := mul(8, 9)
操作後
Catalan central binomial product at i=2 = 72
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
Catalan central exact binomial division by i=2 := div(72, 2)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=2 = 36
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
Catalan central binomial product at i=3 := mul(36, 10)
操作後
Catalan central binomial product at i=3 = 360
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Catalan central exact binomial division by i=3 := div(360, 3)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=3 = 120
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
Catalan central binomial product at i=4 := mul(120, 11)
操作後
Catalan central binomial product at i=4 = 1320
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
Catalan central exact binomial division by i=4 := div(1320, 4)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=4 = 330
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
Catalan central binomial product at i=5 := mul(330, 12)
操作後
Catalan central binomial product at i=5 = 3960
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
Catalan central exact binomial division by i=5 := div(3960, 5)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=5 = 792
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026
操作前
Catalan central binomial product at i=6 := mul(792, 13)
操作後
Catalan central binomial product at i=6 = 10296
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
Catalan central exact binomial division by i=6 := div(10296, 6)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=6 = 1716
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
Catalan central binomial product at i=7 := mul(1716, 14)
操作後
Catalan central binomial product at i=7 = 24024
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
Catalan central exact binomial division by i=7 := div(24024, 7)
操作後
Catalan central exact binomial division by i=7 = 3432
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(7, 1)
操作後
Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 8
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
ORIGINAL n=7;central binomial=3432;positive denominator n+1=8
操作後
Euclidean quotient=429,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer
條件：無
先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。
規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S032
操作前
Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(3432, 8)
操作後
Catalan exact closed quotient after remainder0 = 429
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=14,K=8
操作後
use k=min(K,N-K)=6;initialize exact product1;empty product for k0 is1
條件：無
以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。
規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S034
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 9)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=1 = 9
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(9, 1)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 9
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(9, 10)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=2 = 90
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(90, 2)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 45
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=3 := mul(45, 11)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=3 = 495
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=3 := div(495, 3)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=3 = 165
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=4 := mul(165, 12)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=4 = 1980
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=4 := div(1980, 4)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=4 = 495
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=5 := mul(495, 13)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=5 = 6435
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=5 := div(6435, 5)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=5 = 1287
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044
操作前
Catalan adjacent binomial product at i=6 := mul(1287, 14)
操作後
Catalan adjacent binomial product at i=6 = 18018
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045
操作前
Catalan adjacent exact binomial division by i=6 := div(18018, 6)
操作後
Catalan adjacent exact binomial division by i=6 = 3003
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046
操作前
Catalan central minus adjacent binomial := sub(3432, 3003)
操作後
Catalan central minus adjacent binomial = 429
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047
操作前
ORIGINAL n=7;recurrence value=429;central=3432,adjacent=3003,denominator=8
操作後
closed quotient=429;binomial difference=429;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1)
條件：無
Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。
規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S048
S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=6，不以小數近似替代。S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=5，不以小數近似替代。S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=4，不以小數近似替代。S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=3，不以小數近似替代。S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=7，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=6，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=5，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=4，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_7，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_6，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_5，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_4，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(7, 3432, 8, 0, 429, 429, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
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