R0044-22751 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0051
C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-closed-cross-check；資料={"n":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-closed-cross-check；資料={"n":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=catalan-recurrence-closed-cross-check;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[n, recurrence_value, closed_value, difference_value, all_equal, certificate]
條件：無
保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
ORIGINAL requested natural index n=0
操作後
initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits
條件：無
空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。
規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001
操作前
Catalan central:ORIGINAL binomial N=0,K=0
操作後
use k=min(K,N-K)=0;initialize exact product1;empty product for k0 is1
條件：無
以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。
規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S002
操作前
Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(0, 1)
操作後
Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 1
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
ORIGINAL n=0;central binomial=1;positive denominator n+1=1
操作後
Euclidean quotient=1,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer
條件：無
先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。
規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S004
操作前
Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(1, 1)
操作後
Catalan exact closed quotient after remainder0 = 1
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Catalan adjacent:N=0,K=1
操作後
K outside0..N,so binomial=0
條件：無
超出範圍的組合數依來源為0，特別保n0時choose(0,1)=0。
規則：catalan_binomial_out_of_range_zero · 依賴：G001, S006
操作前
Catalan central minus adjacent binomial := sub(1, 0)
操作後
Catalan central minus adjacent binomial = 1
條件：無
依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
ORIGINAL n=0;recurrence value=1;central=1,adjacent=0,denominator=1
操作後
closed quotient=1;binomial difference=1;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1)
條件：無
Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。
規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(0, 1, 1, 1, 是, C_zero_index_convention_preserved)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 6de38e28f1fb49bca03ab5c715bc23fcb295f7afae1c2878431c5b139d11caa4candidate record SHA-256: 1c48eecc3b441be194d79a01e146b1085d0aacb90a39db26043d01aa396dbd23semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED