R0047-24479 · q-20261015-advance-20261113-r06-gradient-vector-0004
standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-symbolic-polynomial；資料={"dimension":3,"terms":[[4,[2,1,0]],[5,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-symbolic-polynomial；資料={"dimension":3,"terms":[[4,[2,1,0]],[5,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [gradient-symbolic-polynomial]
操作後
derived = [[dimension, canonical_terms, coordinate_derivative_polynomials, certificate]]
條件：無
本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 4)
操作後
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 4
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [0, 3, [2, 1, 0], 4]
操作後
derived = [4]
條件：無
同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。
規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S002
操作前
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 5)
操作後
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 5
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [1, 3, [0, 1, 1], 5]
操作後
derived = [5]
條件：無
同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。
規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S004
操作前
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 := sum(0, 1)
操作後
Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 = 1
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [2, 3, [0, 0, 0], 1]
操作後
derived = [1]
條件：無
同一ordered exponent才合併；零係數待合併後移除，固定Euclidean座標不重排。
規則：Gradient_original_term_position_and_exponent_arity · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [[[4, [2, 1, 0]], [5, [0, 1, 1]], [1, [0, 0, 0]]]]
操作後
derived = [3, [[1, [0, 0, 0]], [5, [0, 1, 1]], [4, [2, 1, 0]]]]
條件：無
按來源English canonical(exponents)序，不是數值tuple序；完整相消的零多項式可得空canonical清單。
規則：Gradient_canonical_nonzero_polynomial_terms_source_order · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [0, 0, [0, 0, 0], 1]
操作後
derived = [0]
條件：無
該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。
規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [0, 1, [0, 1, 1], 5]
操作後
derived = [0]
條件：無
該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。
規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S009
操作前
Gradient axis0 term2 power-rule coefficient := mul(4, 2)
操作後
Gradient axis0 term2 power-rule coefficient = 8
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Gradient axis0 derivative combine2 := sum(0, 8)
操作後
Gradient axis0 derivative combine2 = 8
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [0, 2, [2, 1, 0], 4, 2]
操作後
derived = [[1, 1, 0], 8]
條件：無
偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。
規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [1, 0, [0, 0, 0], 1]
操作後
derived = [0]
條件：無
該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。
規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S013
操作前
Gradient axis1 term1 power-rule coefficient := mul(5, 1)
操作後
Gradient axis1 term1 power-rule coefficient = 5
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
Gradient axis1 derivative combine1 := sum(0, 5)
操作後
Gradient axis1 derivative combine1 = 5
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [1, 1, [0, 1, 1], 5, 1]
操作後
derived = [[0, 0, 1], 5]
條件：無
偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。
規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S016
操作前
Gradient axis1 term2 power-rule coefficient := mul(4, 1)
操作後
Gradient axis1 term2 power-rule coefficient = 4
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Gradient axis1 derivative combine2 := sum(0, 4)
操作後
Gradient axis1 derivative combine2 = 4
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
source roles = [1, 2, [2, 1, 0], 4, 1]
操作後
derived = [[2, 0, 0], 4]
條件：無
偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。
規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [2, 0, [0, 0, 0], 1]
操作後
derived = [0]
條件：無
該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。
規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S020
操作前
Gradient axis2 term1 power-rule coefficient := mul(5, 1)
操作後
Gradient axis2 term1 power-rule coefficient = 5
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Gradient axis2 derivative combine1 := sum(0, 5)
操作後
Gradient axis2 derivative combine1 = 5
條件：無
依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [2, 1, [0, 1, 1], 5, 1]
操作後
derived = [[0, 1, 0], 5]
條件：無
偏導時其他變數固定，c*x_i^k變ck*x_i^(k−1)，只把這一座標次數減1。
規則：Gradient_coordinate_power_rule_ordered_exponents · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [2, 2, [2, 1, 0], 4]
操作後
derived = [0]
條件：無
該座標次數0，對此座標導數為0，不遺漏其他座標。
規則：Gradient_constant_in_coordinate_derivative_zero · 依賴：G001, S024
操作前
source roles = [3, [[1, [0, 0, 0]], [5, [0, 1, 1]], [4, [2, 1, 0]]]]
操作後
derived = [[[[8, [1, 1, 0]]], [[5, [0, 0, 1]], [4, [2, 0, 0]]], [[5, [0, 1, 0]]]]]
條件：無
梯度是全部d個有序偏導多項式；多項式可微，故此Euclidean偏導向量表示微分。不是單方向取樣。
規則：Gradient_ALL_ordered_coordinate_polynomials · 依賴：G001, S025
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 derivative combine1，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine2，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine1，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine2，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(3, [[1, [0, 0, 0]], [5, [0, 1, 1]], [4, [2, 1, 0]]], [[[8, [1, 1, 0]]], [[5, [0, 0, 1]], [4, [2, 0, 0]]], [[5, [0, 1, 0]]]], standard_Euclidean_coordinate_order_preserved)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ecd7aaa7ae7964d5a3205898b203e32458b6506c5044c35bacce5aa8ad628fc3candidate record SHA-256: a5877babffe74f9270654f68778b59e8d0d0abfcb9fd7b42324634734b4978a4semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50bLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED