第 24427 題：梯度向量

原題與已知條件

standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":3,"terms":[[2,[2,1,0]],[3,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]],"point":[[2,1],[3,2],[4,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":3,"terms":[[2,[2,1,0]],[3,[0,1,1]],[1,[0,0,0]]],"point":[[2,1],[3,2],[4,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [gradient-rational-point]

derived = [[dimension, canonical_terms, point, coordinate_derivative_polynomials, gradient_values, certificate]]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 2)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 2

source roles = [0, 3, [2, 1, 0], 2]

derived = [2]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 3)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 3

source roles = [1, 3, [0, 1, 1], 3]

derived = [3]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 := sum(0, 1)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 = 1

source roles = [2, 3, [0, 0, 0], 1]

derived = [1]

source roles = [[[2, [2, 1, 0]], [3, [0, 1, 1]], [1, [0, 0, 0]]]]

derived = [3, [[1, [0, 0, 0]], [3, [0, 1, 1]], [2, [2, 1, 0]]]]

source roles = [0, 0, [0, 0, 0], 1]

derived = [0]

source roles = [0, 1, [0, 1, 1], 3]

derived = [0]

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient := mul(2, 2)

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient = 4

Gradient axis0 derivative combine2 := sum(0, 4)

Gradient axis0 derivative combine2 = 4

source roles = [0, 2, [2, 1, 0], 2, 2]

derived = [[1, 1, 0], 4]

source roles = [1, 0, [0, 0, 0], 1]

derived = [0]

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient := mul(3, 1)

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient = 3

Gradient axis1 derivative combine1 := sum(0, 3)

Gradient axis1 derivative combine1 = 3

source roles = [1, 1, [0, 1, 1], 3, 1]

derived = [[0, 0, 1], 3]

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient := mul(2, 1)

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient = 2

Gradient axis1 derivative combine2 := sum(0, 2)

Gradient axis1 derivative combine2 = 2

source roles = [1, 2, [2, 1, 0], 2, 1]

derived = [[2, 0, 0], 2]

source roles = [2, 0, [0, 0, 0], 1]

derived = [0]

Gradient axis2 term1 power-rule coefficient := mul(3, 1)

Gradient axis2 term1 power-rule coefficient = 3

Gradient axis2 derivative combine1 := sum(0, 3)

Gradient axis2 derivative combine1 = 3

source roles = [2, 1, [0, 1, 1], 3, 1]

derived = [[0, 1, 0], 3]

source roles = [2, 2, [2, 1, 0], 2]

derived = [0]

source roles = [3, [[1, [0, 0, 0]], [3, [0, 1, 1]], [2, [2, 1, 0]]]]

derived = [[[[4, [1, 1, 0]]], [[3, [0, 0, 1]], [2, [2, 0, 0]]], [[3, [0, 1, 0]]]]]

(2)^1

Gradient axis0 term0 coordinate0 power = 2

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor := mul(4, 2)

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor = 8

(3/2)^1

Gradient axis0 term0 coordinate1 power = 3/2

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor := mul(8, 3/2)

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor = 12

(4/3)^0

Gradient axis0 term0 coordinate2 power = 1

Gradient axis0 term0 coordinate2 factor := mul(12, 1)

Gradient axis0 term0 coordinate2 factor = 12

Gradient axis0 cumulative term0 := sum(0, 12)

Gradient axis0 cumulative term0 = 12

(2)^0

Gradient axis1 term0 coordinate0 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor := mul(3, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor = 3

(3/2)^0

Gradient axis1 term0 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor := mul(3, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor = 3

(4/3)^1

Gradient axis1 term0 coordinate2 power = 4/3

Gradient axis1 term0 coordinate2 factor := mul(3, 4/3)

Gradient axis1 term0 coordinate2 factor = 4

(2)^2

Gradient axis1 term1 coordinate0 power = 4

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor := mul(2, 4)

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor = 8

(3/2)^0

Gradient axis1 term1 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor := mul(8, 1)

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor = 8

(4/3)^0

Gradient axis1 term1 coordinate2 power = 1

Gradient axis1 term1 coordinate2 factor := mul(8, 1)

Gradient axis1 term1 coordinate2 factor = 8

Gradient axis1 cumulative term0 := sum(0, 4)

Gradient axis1 cumulative term0 = 4

Gradient axis1 cumulative term1 := sum(4, 8)

Gradient axis1 cumulative term1 = 12

(2)^0

Gradient axis2 term0 coordinate0 power = 1

Gradient axis2 term0 coordinate0 factor := mul(3, 1)

Gradient axis2 term0 coordinate0 factor = 3

(3/2)^1

Gradient axis2 term0 coordinate1 power = 3/2

Gradient axis2 term0 coordinate1 factor := mul(3, 3/2)

Gradient axis2 term0 coordinate1 factor = 9/2

(4/3)^0

Gradient axis2 term0 coordinate2 power = 1

Gradient axis2 term0 coordinate2 factor := mul(9/2, 1)

Gradient axis2 term0 coordinate2 factor = 9/2

Gradient axis2 cumulative term0 := sum(0, 9/2)

Gradient axis2 cumulative term0 = 9/2

source roles = [3, [2, 3/2, 4/3], [[[4, [1, 1, 0]]], [[3, [0, 0, 1]], [2, [2, 0, 0]]], [[3, [0, 1, 0]]]]]

derived = [[12, 12, 9/2], 否, 否]

逐步反向核對

• S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term0 coordinate2 factor，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term1，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate2 factor，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate2 factor，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate2 factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 derivative combine1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis2 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(3, [[1, [0, 0, 0]], [3, [0, 1, 1]], [2, [2, 1, 0]]], [2, 3/2, 4/3], [[[4, [1, 1, 0]]], [[3, [0, 0, 1]], [2, [2, 0, 0]]], [[3, [0, 1, 0]]]], [12, 12, 9/2], exact_rational_coordinate_evaluation)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。