第 24446 題：梯度向量

原題與已知條件

standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":2,"terms":[[21,[2,1]],[22,[0,1]],[1,[0,0]]],"point":[[21,1],[22,2]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":2,"terms":[[21,[2,1]],[22,[0,1]],[1,[0,0]]],"point":[[21,1],[22,2]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [gradient-rational-point]

derived = [[dimension, canonical_terms, point, coordinate_derivative_polynomials, gradient_values, certificate]]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 21)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 21

source roles = [0, 2, [2, 1], 21]

derived = [21]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 22)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 22

source roles = [1, 2, [0, 1], 22]

derived = [22]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 := sum(0, 1)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 = 1

source roles = [2, 2, [0, 0], 1]

derived = [1]

source roles = [[[21, [2, 1]], [22, [0, 1]], [1, [0, 0]]]]

derived = [2, [[1, [0, 0]], [22, [0, 1]], [21, [2, 1]]]]

source roles = [0, 0, [0, 0], 1]

derived = [0]

source roles = [0, 1, [0, 1], 22]

derived = [0]

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient := mul(21, 2)

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient = 42

Gradient axis0 derivative combine2 := sum(0, 42)

Gradient axis0 derivative combine2 = 42

source roles = [0, 2, [2, 1], 21, 2]

derived = [[1, 1], 42]

source roles = [1, 0, [0, 0], 1]

derived = [0]

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient := mul(22, 1)

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient = 22

Gradient axis1 derivative combine1 := sum(0, 22)

Gradient axis1 derivative combine1 = 22

source roles = [1, 1, [0, 1], 22, 1]

derived = [[0, 0], 22]

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient := mul(21, 1)

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient = 21

Gradient axis1 derivative combine2 := sum(0, 21)

Gradient axis1 derivative combine2 = 21

source roles = [1, 2, [2, 1], 21, 1]

derived = [[2, 0], 21]

source roles = [2, [[1, [0, 0]], [22, [0, 1]], [21, [2, 1]]]]

derived = [[[[42, [1, 1]]], [[22, [0, 0]], [21, [2, 0]]]]]

(21)^1

Gradient axis0 term0 coordinate0 power = 21

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor := mul(42, 21)

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor = 882

(11)^1

Gradient axis0 term0 coordinate1 power = 11

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor := mul(882, 11)

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor = 9702

Gradient axis0 cumulative term0 := sum(0, 9702)

Gradient axis0 cumulative term0 = 9702

(21)^0

Gradient axis1 term0 coordinate0 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor := mul(22, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor = 22

(11)^0

Gradient axis1 term0 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor := mul(22, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor = 22

(21)^2

Gradient axis1 term1 coordinate0 power = 441

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor := mul(21, 441)

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor = 9261

(11)^0

Gradient axis1 term1 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor := mul(9261, 1)

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor = 9261

Gradient axis1 cumulative term0 := sum(0, 22)

Gradient axis1 cumulative term0 = 22

Gradient axis1 cumulative term1 := sum(22, 9261)

Gradient axis1 cumulative term1 = 9283

source roles = [2, [21, 11], [[[42, [1, 1]]], [[22, [0, 0]], [21, [2, 0]]]]]

derived = [[9702, 9283], 否, 否]

逐步反向核對

• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, [[1, [0, 0]], [22, [0, 1]], [21, [2, 1]]], [21, 11], [[[42, [1, 1]]], [[22, [0, 0]], [21, [2, 0]]]], [9702, 9283], exact_rational_coordinate_evaluation)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。