第 24450 題：梯度向量

原題與已知條件

standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":2,"terms":[[25,[2,1]],[26,[0,1]],[1,[0,0]]],"point":[[25,1],[26,2]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-rational-point；資料={"dimension":2,"terms":[[25,[2,1]],[26,[0,1]],[1,[0,0]]],"point":[[25,1],[26,2]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [gradient-rational-point]

derived = [[dimension, canonical_terms, point, coordinate_derivative_polynomials, gradient_values, certificate]]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 25)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 25

source roles = [0, 2, [2, 1], 25]

derived = [25]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 26)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 26

source roles = [1, 2, [0, 1], 26]

derived = [26]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 := sum(0, 1)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2 = 1

source roles = [2, 2, [0, 0], 1]

derived = [1]

source roles = [[[25, [2, 1]], [26, [0, 1]], [1, [0, 0]]]]

derived = [2, [[1, [0, 0]], [26, [0, 1]], [25, [2, 1]]]]

source roles = [0, 0, [0, 0], 1]

derived = [0]

source roles = [0, 1, [0, 1], 26]

derived = [0]

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient := mul(25, 2)

Gradient axis0 term2 power-rule coefficient = 50

Gradient axis0 derivative combine2 := sum(0, 50)

Gradient axis0 derivative combine2 = 50

source roles = [0, 2, [2, 1], 25, 2]

derived = [[1, 1], 50]

source roles = [1, 0, [0, 0], 1]

derived = [0]

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient := mul(26, 1)

Gradient axis1 term1 power-rule coefficient = 26

Gradient axis1 derivative combine1 := sum(0, 26)

Gradient axis1 derivative combine1 = 26

source roles = [1, 1, [0, 1], 26, 1]

derived = [[0, 0], 26]

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient := mul(25, 1)

Gradient axis1 term2 power-rule coefficient = 25

Gradient axis1 derivative combine2 := sum(0, 25)

Gradient axis1 derivative combine2 = 25

source roles = [1, 2, [2, 1], 25, 1]

derived = [[2, 0], 25]

source roles = [2, [[1, [0, 0]], [26, [0, 1]], [25, [2, 1]]]]

derived = [[[[50, [1, 1]]], [[26, [0, 0]], [25, [2, 0]]]]]

(25)^1

Gradient axis0 term0 coordinate0 power = 25

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor := mul(50, 25)

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor = 1250

(13)^1

Gradient axis0 term0 coordinate1 power = 13

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor := mul(1250, 13)

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor = 16250

Gradient axis0 cumulative term0 := sum(0, 16250)

Gradient axis0 cumulative term0 = 16250

(25)^0

Gradient axis1 term0 coordinate0 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor := mul(26, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor = 26

(13)^0

Gradient axis1 term0 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor := mul(26, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor = 26

(25)^2

Gradient axis1 term1 coordinate0 power = 625

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor := mul(25, 625)

Gradient axis1 term1 coordinate0 factor = 15625

(13)^0

Gradient axis1 term1 coordinate1 power = 1

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor := mul(15625, 1)

Gradient axis1 term1 coordinate1 factor = 15625

Gradient axis1 cumulative term0 := sum(0, 26)

Gradient axis1 cumulative term0 = 26

Gradient axis1 cumulative term1 := sum(26, 15625)

Gradient axis1 cumulative term1 = 15651

source roles = [2, [25, 13], [[[50, [1, 1]]], [[26, [0, 0]], [25, [2, 0]]]]]

derived = [[16250, 15651], 否, 否]

逐步反向核對

• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term2 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, [[1, [0, 0]], [26, [0, 1]], [25, [2, 1]]], [25, 13], [[[50, [1, 1]]], [[26, [0, 0]], [25, [2, 0]]]], [16250, 15651], exact_rational_coordinate_evaluation)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。