第 24458 題：梯度向量

原題與已知條件

standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-stationary-audit；資料={"dimension":2,"terms":[[8,[2,0]],[9,[0,2]]],"point":[0,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-stationary-audit；資料={"dimension":2,"terms":[[8,[2,0]],[9,[0,2]]],"point":[0,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [gradient-stationary-audit]

derived = [[dimension, point, gradient_values, stationary, extremum_certificate, boundary]]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 := sum(0, 8)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0 = 8

source roles = [0, 2, [2, 0], 8]

derived = [8]

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 := sum(0, 9)

Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1 = 9

source roles = [1, 2, [0, 2], 9]

derived = [9]

source roles = [[[8, [2, 0]], [9, [0, 2]]]]

derived = [2, [[9, [0, 2]], [8, [2, 0]]]]

source roles = [0, 0, [0, 2], 9]

derived = [0]

Gradient axis0 term1 power-rule coefficient := mul(8, 2)

Gradient axis0 term1 power-rule coefficient = 16

Gradient axis0 derivative combine1 := sum(0, 16)

Gradient axis0 derivative combine1 = 16

source roles = [0, 1, [2, 0], 8, 2]

derived = [[1, 0], 16]

Gradient axis1 term0 power-rule coefficient := mul(9, 2)

Gradient axis1 term0 power-rule coefficient = 18

Gradient axis1 derivative combine0 := sum(0, 18)

Gradient axis1 derivative combine0 = 18

source roles = [1, 0, [0, 2], 9, 2]

derived = [[0, 1], 18]

source roles = [1, 1, [2, 0], 8]

derived = [0]

source roles = [2, [[9, [0, 2]], [8, [2, 0]]]]

derived = [[[[16, [1, 0]]], [[18, [0, 1]]]]]

(0)^1

Gradient axis0 term0 coordinate0 power = 0

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor := mul(16, 0)

Gradient axis0 term0 coordinate0 factor = 0

(0)^0

Gradient axis0 term0 coordinate1 power = 1

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor := mul(0, 1)

Gradient axis0 term0 coordinate1 factor = 0

Gradient axis0 cumulative term0 := sum(0, 0)

Gradient axis0 cumulative term0 = 0

(0)^0

Gradient axis1 term0 coordinate0 power = 1

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor := mul(18, 1)

Gradient axis1 term0 coordinate0 factor = 18

(0)^1

Gradient axis1 term0 coordinate1 power = 0

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor := mul(18, 0)

Gradient axis1 term0 coordinate1 factor = 0

Gradient axis1 cumulative term0 := sum(0, 0)

Gradient axis1 cumulative term0 = 0

source roles = [2, [0, 0], [[[16, [1, 0]]], [[18, [0, 1]]]]]

derived = [[0, 0], 是, 否]

逐步反向核對

• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 cumulative term0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate1 factor，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term0 coordinate0 factor，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 derivative combine0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis1 term0 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 derivative combine1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient axis0 term1 power-rule coefficient，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient ORIGINAL monomial coefficient sum0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, [0, 0], [0, 0], 是, 否, gradient_zero_means_stationary_not_necessarily_extremum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。