第 24407 題：梯度向量

原題與已知條件

standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-boundary-counterexample；資料={"mode":"partials_exist_not_differentiable","scale":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — standard Euclidean coordinates中的完整ordered partial-derivative vector。操作=gradient-boundary-counterexample；資料={"mode":"partials_exist_not_differentiable","scale":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-vector

逐步推導

source roles = [gradient-boundary-counterexample]

derived = [[mode, function_description, point, coordinate_partial_values, coordinate_partials_exist, diagonal_comparison, differentiable, boundary]]

Gradient diagonal exact scale half := div(7, 2)

Gradient diagonal exact scale half = 7/2

source roles = [partials_exist_not_differentiable, 7]

derived = [partials_exist_not_differentiable, f(x,y)=7*x^3/(x^2+y^2)_off_origin;f(0,0)=0, [0, 0], [7, 0], 是, along_y=x:f(x,x)=7/2*x_but_linear_candidate=7*x, 否, both_coordinate_partials_exist_but_the_diagonal_remainder_is_not_little_o_of_the_norm]

逐步反向核對

• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Gradient diagonal exact scale half，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(partials_exist_not_differentiable, f(x,y)=7*x^3/(x^2+y^2)_off_origin;f(0,0)=0, [0, 0], [7, 0], 是, along_y=x:f(x,x)=7/2*x_but_linear_candidate=7*x, 否, both_coordinate_partials_exist_but_the_diagonal_remainder_is_not_little_o_of_the_norm)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。