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第 24362 題：有限流網路

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0047-24362 · q-20261015-advance-20261113-r07-finite-flow-network-0012

原題與已知條件

finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-network-qualification；資料={"vertices":["s11","a11","t11","u11"],"edges":[["s11","a11"],["a11","s11"],["a11","t11"],["t11","a11"]],"source":"s11","sink":"t11","capacities":[60,60,60,60],"flows":[48,24,36,12]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-network-qualification；資料={"vertices":["s11","a11","t11","u11"],"edges":[["s11","a11"],["a11","s11"],["a11","t11"],["t11","a11"]],"source":"s11","sink":"t11","capacities":[60,60,60,60],"flows":[48,24,36,12]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [flow-network-qualification]

操作後

derived = [[vertices, source, sink, edge_capacity_flow_rows, antiparallel_pair_count, network_qualified, convention]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s11, a11, t11, u11], [[s11, a11], [a11, s11], [a11, t11], [t11, a11]], [60, 60, 60, 60], [48, 24, 36, 12], s11, t11]

操作後

derived = [[a11, s11, t11, u11], [[[a11, s11], 60, 24], [[a11, t11], 60, 36], [[s11, a11], 60, 48], [[t11, a11], 60, 12]], 2, 是]

條件：無

先依原index配好edge／capacity／flow，再按來源English canonical(edge)序排；vertices用UTF16。反向邊是不同edge，zero容量與孤立點合法，負flow保留供容量判失敗，不修改。

步驟識別與依賴

規則：Flow_zip_source_edges_capacities_flows_BEFORE_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [0, [a11, s11], 24, 60]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [1, [a11, t11], 36, 60]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [2, [s11, a11], 48, 60]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [3, [t11, a11], 12, 60]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex a11 := sum(48, 12)

操作後

Flow ALL incoming at vertex a11 = 60

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex a11 := sum(24, 36)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex a11 = 60

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [a11, [2, 3], [0, 1]]

操作後

derived = [60, 60, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex s11 := sum(24)

操作後

Flow ALL incoming at vertex s11 = 24

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex s11 := sum(48)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex s11 = 48

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [s11, [0], [2]]

操作後

derived = [24, 48, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex t11 := sum(36)

操作後

Flow ALL incoming at vertex t11 = 36

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex t11 := sum(12)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex t11 = 12

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [t11, [1], [3]]

操作後

derived = [36, 12, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex u11 := sum()

操作後

Flow ALL incoming at vertex u11 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex u11 := sum()

操作後

Flow ALL outgoing at vertex u11 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [u11, [], []]

操作後

derived = [0, 0, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Flow source NET outflow not gross outgoing := sub(48, 24)

操作後

Flow source NET outflow not gross outgoing = 24

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Flow sink NET inflow not gross incoming := sub(36, 12)

操作後

Flow sink NET inflow not gross incoming = 24

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [s11, t11, [[[a11, s11], 24, 60, 是], [[a11, t11], 36, 60, 是], [[s11, a11], 48, 60, 是], [[t11, a11], 12, 60, 是]], [[a11, 60, 60, 是], [u11, 0, 0, 是]], 24, 24]

操作後

derived = [是, 是, 是, 是, 否]

條件：無

全vertex總in−out中每edge相消，故全部internal守恆必得兩net相等；反向不成立，internal imbalance可互抵。容量、逐點守恆、兩net值分別核，feasible不推出maximum/min-cut。最後No是不提供最優證書，不否定特例恰好最優。

步驟識別與依賴

規則：Flow_value_capacity_conservation_and_maximum_separate · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow sink NET inflow not gross incoming，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow source NET outflow not gross outgoing，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex u11，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex u11，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex t11，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex t11，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex s11，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex s11，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex a11，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex a11，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([a11, s11, t11, u11], s11, t11, [[[a11, s11], 60, 24], [[a11, t11], 60, 36], [[s11, a11], 60, 48], [[t11, a11], 60, 12]], 2, 是, finite_loop_free_simple_digraph_with_explicit_antiparallel_convention_zero_capacities_and_disconnected_vertices_allowed)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 782a17c241eac3ab6c5f77763b86481f86f9e1d4c3db6ce9f16122f22cda3027
  • candidate record SHA-256: 5a43401c9108957b0be4e11b5da40cd9554286dcbac2d21ddcee0c80bc157746
  • semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386
  • question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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