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第 24330 題：有限流網路

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0047-24330 · q-20261015-advance-20261113-r07-finite-flow-network-0055

原題與已知條件

finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-conservation-audit；資料={"vertices":["s4","a4","t4","u4"],"edges":[["s4","a4"],["a4","s4"],["a4","t4"],["t4","a4"]],"source":"s4","sink":"t4","capacities":[25,25,25,25],"flows":[20,10,15,5]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-conservation-audit；資料={"vertices":["s4","a4","t4","u4"],"edges":[["s4","a4"],["a4","s4"],["a4","t4"],["t4","a4"]],"source":"s4","sink":"t4","capacities":[25,25,25,25],"flows":[20,10,15,5]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [flow-conservation-audit]

操作後

derived = [[source, sink, edge_capacity_flow_rows, internal_balance_rows, conservation_feasible, first_failed_vertex_or_null, certificate]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s4, a4, t4, u4], [[s4, a4], [a4, s4], [a4, t4], [t4, a4]], [25, 25, 25, 25], [20, 10, 15, 5], s4, t4]

操作後

derived = [[a4, s4, t4, u4], [[[a4, s4], 25, 10], [[a4, t4], 25, 15], [[s4, a4], 25, 20], [[t4, a4], 25, 5]], 2, 是]

條件：無

先依原index配好edge／capacity／flow，再按來源English canonical(edge)序排；vertices用UTF16。反向邊是不同edge，zero容量與孤立點合法，負flow保留供容量判失敗，不修改。

步驟識別與依賴

規則：Flow_zip_source_edges_capacities_flows_BEFORE_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [0, [a4, s4], 10, 25]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [1, [a4, t4], 15, 25]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [2, [s4, a4], 20, 25]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [3, [t4, a4], 5, 25]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex a4 := sum(20, 5)

操作後

Flow ALL incoming at vertex a4 = 25

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex a4 := sum(10, 15)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex a4 = 25

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [a4, [2, 3], [0, 1]]

操作後

derived = [25, 25, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex s4 := sum(10)

操作後

Flow ALL incoming at vertex s4 = 10

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex s4 := sum(20)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex s4 = 20

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [s4, [0], [2]]

操作後

derived = [10, 20, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex t4 := sum(15)

操作後

Flow ALL incoming at vertex t4 = 15

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex t4 := sum(5)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex t4 = 5

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [t4, [1], [3]]

操作後

derived = [15, 5, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex u4 := sum()

操作後

Flow ALL incoming at vertex u4 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex u4 := sum()

操作後

Flow ALL outgoing at vertex u4 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [u4, [], []]

操作後

derived = [0, 0, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Flow source NET outflow not gross outgoing := sub(20, 10)

操作後

Flow source NET outflow not gross outgoing = 10

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Flow sink NET inflow not gross incoming := sub(15, 5)

操作後

Flow sink NET inflow not gross incoming = 10

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [s4, t4, [[[a4, s4], 10, 25, 是], [[a4, t4], 15, 25, 是], [[s4, a4], 20, 25, 是], [[t4, a4], 5, 25, 是]], [[a4, 25, 25, 是], [u4, 0, 0, 是]], 10, 10]

操作後

derived = [是, 是, 是, 是, 否]

條件：無

全vertex總in−out中每edge相消，故全部internal守恆必得兩net相等；反向不成立，internal imbalance可互抵。容量、逐點守恆、兩net值分別核，feasible不推出maximum/min-cut。最後No是不提供最優證書，不否定特例恰好最優。

步驟識別與依賴

規則：Flow_value_capacity_conservation_and_maximum_separate · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow sink NET inflow not gross incoming，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow source NET outflow not gross outgoing，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex u4，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex u4，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex t4，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex t4，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex s4，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex s4，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex a4，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex a4，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(s4, t4, [[[a4, s4], 25, 10], [[a4, t4], 25, 15], [[s4, a4], 25, 20], [[t4, a4], 25, 5]], [[a4, 25, 25, 是], [u4, 0, 0, 是]], 是, null, every_internal_vertex_requires_complete_inflow_equals_outflow)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 22987b7a2acde21ac85c856b55ac71375c1c1d4522aaacb335e305171274d8fa
  • candidate record SHA-256: ccb7904fb1260e9b11908ea8c01271c51b34b801e725b267060ed742a00d7a69
  • semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386
  • question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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