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第 24340 題：有限流網路

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0047-24340 · q-20261015-advance-20261113-r07-finite-flow-network-0065

原題與已知條件

finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-conservation-audit；資料={"vertices":["s14","a14","t14","u14"],"edges":[["s14","a14"],["a14","s14"],["a14","t14"],["t14","a14"]],"source":"s14","sink":"t14","capacities":[75,75,75,75],"flows":[60,30,45,15]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — finite loop-free directed network、逐edge capacity與逐internal-vertex conservation。操作=flow-conservation-audit；資料={"vertices":["s14","a14","t14","u14"],"edges":[["s14","a14"],["a14","s14"],["a14","t14"],["t14","a14"]],"source":"s14","sink":"t14","capacities":[75,75,75,75],"flows":[60,30,45,15]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [flow-conservation-audit]

操作後

derived = [[source, sink, edge_capacity_flow_rows, internal_balance_rows, conservation_feasible, first_failed_vertex_or_null, certificate]]

條件：無

本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s14, a14, t14, u14], [[s14, a14], [a14, s14], [a14, t14], [t14, a14]], [75, 75, 75, 75], [60, 30, 45, 15], s14, t14]

操作後

derived = [[a14, s14, t14, u14], [[[a14, s14], 75, 30], [[a14, t14], 75, 45], [[s14, a14], 75, 60], [[t14, a14], 75, 15]], 2, 是]

條件：無

先依原index配好edge／capacity／flow，再按來源English canonical(edge)序排；vertices用UTF16。反向邊是不同edge，zero容量與孤立點合法，負flow保留供容量判失敗，不修改。

步驟識別與依賴

規則：Flow_zip_source_edges_capacities_flows_BEFORE_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [0, [a14, s14], 30, 75]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [1, [a14, t14], 45, 75]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [2, [s14, a14], 60, 75]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [3, [t14, a14], 15, 75]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每條有向邊都要0<=flow<=capacity；網路signature合格並不保證候選flow可行。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_edge_two_sided_capacity_obligation · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex a14 := sum(60, 15)

操作後

Flow ALL incoming at vertex a14 = 75

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex a14 := sum(30, 45)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex a14 = 75

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [a14, [2, 3], [0, 1]]

操作後

derived = [75, 75, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex s14 := sum(30)

操作後

Flow ALL incoming at vertex s14 = 30

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex s14 := sum(60)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex s14 = 60

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [s14, [0], [2]]

操作後

derived = [30, 60, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex t14 := sum(45)

操作後

Flow ALL incoming at vertex t14 = 45

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex t14 := sum(15)

操作後

Flow ALL outgoing at vertex t14 = 15

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [t14, [1], [3]]

操作後

derived = [45, 15, 否, 否]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Flow ALL incoming at vertex u14 := sum()

操作後

Flow ALL incoming at vertex u14 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Flow ALL outgoing at vertex u14 := sum()

操作後

Flow ALL outgoing at vertex u14 = 0

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [u14, [], []]

操作後

derived = [0, 0, 是, 是]

條件：無

入邊／出邊各依完整清單加總；孤立點是0=0。守恆只要求internal vertices，源匯仍計完整balance以求net值。

步驟識別與依賴

規則：Flow_EACH_vertex_complete_directional_incidence · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Flow source NET outflow not gross outgoing := sub(60, 30)

操作後

Flow source NET outflow not gross outgoing = 30

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Flow sink NET inflow not gross incoming := sub(45, 15)

操作後

Flow sink NET inflow not gross incoming = 30

條件：無

依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [s14, t14, [[[a14, s14], 30, 75, 是], [[a14, t14], 45, 75, 是], [[s14, a14], 60, 75, 是], [[t14, a14], 15, 75, 是]], [[a14, 75, 75, 是], [u14, 0, 0, 是]], 30, 30]

操作後

derived = [是, 是, 是, 是, 否]

條件：無

全vertex總in−out中每edge相消，故全部internal守恆必得兩net相等；反向不成立，internal imbalance可互抵。容量、逐點守恆、兩net值分別核，feasible不推出maximum/min-cut。最後No是不提供最優證書，不否定特例恰好最優。

步驟識別與依賴

規則：Flow_value_capacity_conservation_and_maximum_separate · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow sink NET inflow not gross incoming，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow source NET outflow not gross outgoing，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex u14，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex u14，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex t14，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex t14，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex s14，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex s14，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL outgoing at vertex a14，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Flow ALL incoming at vertex a14，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(s14, t14, [[[a14, s14], 75, 30], [[a14, t14], 75, 45], [[s14, a14], 75, 60], [[t14, a14], 75, 15]], [[a14, 75, 75, 是], [u14, 0, 0, 是]], 是, null, every_internal_vertex_requires_complete_inflow_equals_outflow)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e26e3237507ca20dd448aafff91992fc593d97e0abc3124ba28f555e0333ce84
  • candidate record SHA-256: 51f8f19808b2e0e47b22f0d385b8df4b3daaed1870dbe2e5a368c7282fbd86e8
  • semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386
  • question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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